정감가는 연역적수학

삼각함수의 합성

삼각함수의 덧셈 정리에서 출발하는 공식이다!

가 주어졌을 때

, 라고 설정하면

 꼴의 두 삼각함수의 합(단 가 같은 삼각함수!)을 한 개의 삼각함수로 합성할 수 있다.

합성하면 좋은 점은?

두 개의 삼각함수일 때는 특정 각도에서의 값을 계산하기 힘들뿐더러 최댓값과 최솟값을 계산하기 힘들다

허나 한 개로 합성하고 나면 최대값은 식!은!죽!

(1) 삼각함수의 합성

오른쪽 그림과 같이 좌표평면 위에 점 를 잡고, 동경 가 축의 양의 방향과 이루는 각의 크기를 라 하면 이므로

    ,

이와 같이 의 꼴의 삼각함수를 하나의 삼각함수 의 꼴로 변형하는 것을 삼각함수의 합성이라 한다.

(2) 의 꼴을 의 꼴로 나타내는 방법

단계1 : 를 좌표, 를 좌표로 하는 점 를 좌표평면에 나타낸다.

단계2 : 의 길이 와 가 축의 양의 방향과 이루는 각의 크기 를 구한다. (단, 는 원점)

[예]

를 의

꼴로 나타내기

단계1 : 오른쪽 그림과 같이 , 의 계수 과 을 각각 좌표, 좌표로 하는 점을 라 하면

단계2 : 의 길이는  
, 을 만족하는 각 의 크기는
  ,
  
                   

사실 둘 중에 한가지 방법이면 충분하다.

주로 최댓값을 질문하므로 이 중요하다!

의 최댓값은----->!!!!

평면에서 곡선의 길이

(1) 곡선 , 의 길이

(2) 곡선 의 길이

(2)번 공식은 사실, (1)번 공식과 같다.

(1)번 공식에 , 를 적용해보면

         ↓      ↓

  곡선의 길이의 증명

(1) 곡선 , 의 길이

곡선 , 의 길이 은 오른쪽 [그림 1]과 같이 시각 에 대하여 좌표가 이고, 좌표가 인 점 가 좌표평면 위에서 시각 부터 까지 움직인 거리와 같다.

이때 오른쪽 [그림 2]와 같이 매개변수가 부터 까지 변할 때, 점 는 점 로 움직인다고 하면, 의 증분 가 충분히 작을 때 의 증분 은 선분 의 길이와 거의 같다.

따라서 곡선 , 의 길이 은

  ㉠

(2) 곡선 의 길이

함수 는 매개변수 를 이용하여 다음과 같이 나타낼 수 있다. ,

㉠에 의하여 곡선 , 의 길이 은

1. 축의 둘레로 회전시킨 회전체의 부피

2. 축의 둘레로 회전시킨 회전체의 부피

단면적의 넓이를 적분하면 부피가 나오는 것을 생각하면 쉽게 이해할 수 있다!

즉, 이것이 이해가 안가거나 외워지지 않는다는 것은

<입체의 부피>------------보러가기

부터 확실히 이해해야 한다~