2015. 5. 29. 16:49
평면에서 곡선의 길이
(1) 곡선 , 의 길이
(2) 곡선 의 길이
(2)번 공식은 사실, (1)번 공식과 같다.
(1)번 공식에 , 를 적용해보면
↓ ↓
곡선의 길이의 증명
(1) 곡선 , 의 길이
곡선 , 의 길이 은 오른쪽 [그림 1]과 같이 시각 에 대하여 좌표가 이고, 좌표가 인 점 가 좌표평면 위에서 시각 부터 까지 움직인 거리와 같다.
이때 오른쪽 [그림 2]와 같이 매개변수가 부터 까지 변할 때, 점 는 점 로 움직인다고 하면, 의 증분 가 충분히 작을 때 의 증분 은 선분 의 길이와 거의 같다.
따라서 곡선 , 의 길이 은
㉠
(2) 곡선 의 길이
함수 는 매개변수 를 이용하여 다음과 같이 나타낼 수 있다. ,
㉠에 의하여 곡선 , 의 길이 은
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