정감가는 연역적수학

1 벡터의 내적

  (1) 두 벡터가 이루는 각
영벡터가 아닌 두 벡터 에 대하여 한 점 를 잡아서 , 가 되도록

      두 점 를 정할 때, 의 크기 는 점 의 위치에 관계없이 일정하고

      를 두 벡터 가 이루는 각이라 한다.

  (2) 벡터의 내적의 정의

      영벡터가 아닌 두 벡터 가 이루는 각의 크기가 일 때

      를 와 의 내적이라고 하며, 이것을 기호로 와 같이 나타낸다. 즉
          
또한 또는 일 때에는 또는 이므로 으로 정하고 이면 에서 이므로 이다.

2 벡터의 내적과 성분

   벡터의 내적을 성분을 이용하여 나타내면 다음과 같다.

  (1) 일 때              

  (2) 일 때               

공간에서 직선의 방정식

필요한 기초개념!

1. 수직선

2. 평면에서의 직선의 방정식

3. 벡터

직선이란 무엇인가? 1차원이다!

모든 점을 기준점에서 변수 1개로 나타낼 수 있다.

보통 직선의 방정식은 이렇게 배웠지?

쌤이 보기에는 별로 안좋은 식이다!

일단 모양이 무섭다.

무엇보다, 실제로 문제를 풀 때 사용하지 못한다.

직선이지만, 우리는 문제를 풀 때 직선위의 한 점을 다뤄야 한다.

저 식에 점이 어디 있는가?

자, 벡터로 표현한 직선의 방정식도 배웠을 것이다....(근데 기억 안나지?ㅋㅋㅋ 이걸 기억하는 학생은 별로 없음)

두 개념을 조합해서 확실하게 끝내봅시다!

점 을 지나고, 벡터 에 평행한 직선의 방정식은 점은 이렇게 표현할 수 있다.

포물선의 기하학적 성질

포물선의 꿀팁 공식중 기초!

다음 두 가지는 꼭 암기해라

포물선의 접선에서 생기는 마름모

포물선과 그 초점을 지나는 직선에서

이차곡선, 접선이 직교하는 점들의 자취

포물선- 준선

(포물선의 기하학적 성질 참조)

암기란 힘든 것이다.

쉽게 이해해보자!

타원이 꽉 차는(외접하는)   반듯한(각 변이 축, 축에 평행한) 직사각형을 생각하자.

직사각형의 각 꼭짓점이 조건을 만족하는 점이다.  점 4개를 지나는 원은 유일하다!

그래서 반지름이 이다!

이해가 안가면 타원의 기본개념이 부족하다!

쌍곡선은 타원과 셋트라고 암기하자~

원래 쌍곡선은 타원과 셋트로 암기하지 않았던가!

한 번 쯤은 의 기하학적인 의미를 부여하는 것을 연습해보길 권장~

타원의 기하학적 비밀

타원의 정의는 기억..암기하고 있겠지?

평면 위의 두 정점으로부터의 거리의 합이 일정한 점들의 집합.

자, 그럼 타원을 재정의 해보자.

더 간단하다!

타원은, 원의 정사영이다.

끝.

또한, 타원의 매개변수 방정식

이것만 보면 이해가 불가능하다.

원 위의 한 점은, (, )부터 이해하고, 타원은 원의 정사영인 것들 합쳐서 이해해야 한다.

근데, 정사영이란 공간에서 정의되는 것이였다.

정사영 : 수선의 발의 집합

그런데 평면에서 웬 정사영?

정확히는 이거다.

또는

원을 축소/확대 시킨 것이다.

여기서 축소/확대의 기준은 원점이 아니라 축 또는 축!

평면도형에서 확실히 이해해야 한다.--------->보러가기(작업중)

일차변환

올해가 마지막 일차변환이다....아쉽다ㅠㅠ

일차변환에서 가장 중요한 것은

일차변환의 정의

일차변환의 재정의

두가지이다.

재정의는 무슨 뜻인가?

>>>>>>>>>일차변환의 재정의 보러가기<<<<<<<<<

일차변환의 재정의, 본질 – 안성환쌤의 연역적수학

이라는 일차변환을 생각해보자.

이라는 점은 라는 일차변환에 의해 어디로 가는가?

이를 제대로 알기 전에 우선, 좌표평면을 제대로 이해해야 한다.

>>>>>함수와 그래프-01. 2차원, 순서쌍을 전부 표현하다.<<<<<보러가기

이라는 점은 원점에서 축으로 2칸, 축으로 1칸 움직인 점이다.

일차변환은 여기에서 축을 비틀어 버린다.

엥?

사실 좌표평면은 꼭 직각좌표계일 필요가 없다.

‘평면상의 모든 점’과 ‘두 실수값의 순서쌍’과 일대일 대응이면 된다.

축이 직각일 필요도, 간격이 일정할 필요도 없다....

암튼, 이라는 점은 기본 좌표계에서 2칸, 1칸이였다.

그런데 일차변환은 축을 비틀어 버린다.

축을 비튼다는 것이 무슨 뜻인가?

결과부터 말하자면,

원래 축으로 1칸은 인 벡터이다.(이를 축의 단위벡터라 한다.)

그런데 일차변환에 의해

축으로 한칸이 으로 변한다.

그렇다면 축의 단위벡터는 어떻게 변하지??

로 변한다.!!!

자, 원래 은 원점에서 축 2칸, 축 한 칸 움직인 점이다.

그런데 일차변환 에 의해서

원점에서 출발해 ‘새로운 축의 단위벡터’로 2칸,

‘새로운 축의 단위벡터’로 칸을 움직인다.

...

그냥, 를 계산하는게 빠르겠네!

가 아니다.

이것이 일차변환의 본질(?)이다.

고난이도의 문제가 이 본질 앞에 무릎 꿇으리니!!!!

<<<<예제 보러가기>>> 공사중

좀 더 증명같은 설명은 다음과 같다.

                                        -공식에서 일차변환의 계산을 참조