정감가는 연역적수학

식을 세워야 할 때는

-도함수에서 세워서 올라오는 것이 좋다.

-근 중심으로 식을 세워라. 즉, 그래프에서 튕기는 것, 뚫는 것을 생각하면서 식을 세우면 좋다.

ex) 의 개형을 그릴 수 있다면, 거꾸로 근이 주어졌을 때 그림을 보고 식을 세울 수 있다!

미분과 적분 그래프

도함수의 넓이는 원래함수의 변화량

원시함수의 변화량은 원래함수의 넓이

이차함수와 외부의 한점을 지나는 두 접선

 (단, )

1:2인 것만 외워도 좋다.

----속도와 속력----

위치함수가 주어졌을 때

        기울기 = 순간속도

속도함수가 주어졌을 때

        넓이 = 움직인 거리

        적분값 = 변위

ex) 축 위를 움직이는 점 의 시각 에서의 위치를 라 할 때, 의 그래프는 오른쪽 그림과 같이 이차함수의 그래프의 일부분이다. 옳은 것만을 보기에서 있는 대로 고른 것은?

a~d는 맞고 e~g는 틀리다.

정적분으로 정의된 함수1

정적분으로 정의된 함수2

 이면,

은 의 그래프에서 3부터 5까지의 넓이로 정의됨.

무한급수와 정적분

주의사항 :

를 결정하면 와 범위를 항상 정확히 계산할 것!

는 의 계수, 범위는 기호에 써있음!

무엇보다도..........

미분은 기울기를 뽑은 함수.

적분은 넓이를 구해놓은 함수.

미분하면 그 순간의 기울기가 구해진다.

는 상수이다.

기초에 충실해라!

합성함수 미분증명

를 미분해보자.

합성함수를 미분하라는 것이다!

가장 중요한 기초는 미분계수의 정의 식이다.

이 식을 로 바꿔치기하여

로 바꿔줄 수 있다.

이 식은 다음과 같이 이해하자.

이제 합성함수를 미분해보자.

우변을 어떻게 처리해야 할까?

그냥 라고 해버리고 싶지만....절대안된다!

그래프로 보여주면 참 쉬운데~

그림그리기는 힘드니까...

암튼 안된다고!

다시 이 식을 뚫어지게 보자.

에 집어넣은 변수들만 뽑아서 분모에서 빼주어야 한다.

즉,

가 분모네 있어야 하겠구나!!!를 기억해야 한다.

비어있는 분수를 완성하면 끝!

삼차함수의 비밀1

삼차함수

에서 생각하자.

여기에 비밀이 있다.

1:1:1 이라는 놀라운 비율이 숨어있다.

극소점에서 접선을 그리자.

극소점에서의 접선이 함수와 만나는 점, 극대값의 좌표와 변곡점의 좌표, 그리고 극솟값.

완벽한 등차수열이다.

,

,

   (점

는 극솟값)

세 선분의 길이가 같다.

많은 방법으로 응요할 수 있으며 모르면 안되는 필수지식!

응용편은 다음에...

삼각함수의 덧셈 정리, sin cos tan 합공식

(1)

(2)

(3)

증명은 그리 중요하지 않다.

이것은 암기필수 공식!!!

배각, 반각등 모든 공식이 여기에서 나온다.

그래도 증명은 첨부한다.

sin 증명

삼각형의 넓이를 이용한 증명   그림과 같이 의 꼭짓점 에서 변 에 내린 수선의 발을 라 하면 이므로                                  한편 와 에서 이므로 이를 ㉠에 대입하면

cos 증명

그림과 같이 두 각 가 나타내는 두 동경이 단위원과 만나는 점을 각각 라 하면   이때 에서 제이코사인법칙에 의하여                                                또한 두 점 사이의 거리의 제곱은              따라서 ㉠=㉡이므로                  ㉢에 대신 를 대입하면

tan 증명 – 가장 사용빈도가 낮아 까먹기 좋다. 몇 번 증명해보면 순식간에 만들어낼 수 있다~!

이므로          ( )   위의 등식에서 우변의 분자, 분모를 ( )로 각각 나누면                          ㉥에 대신 를 대입하면

다항함수 미분공식

매우 쉬운 계산이다. 금세 익숙해질 수 있다.

• 를 미분하면     

•  를 미분하면     

• 를 미분하면 

• 를 미분하면        

• 를 미분하면

• 를 미분하면

미분, 즉 도함수는 무엇인가!

기울기만 뽑아낸 함수!임을 잊지 말자!!!!

무한대-무한대 수열의 극한 꿀팁2

무한대-무한대 수열의 극한 꿀팁1을 꼭 보고 와야 한다!

무한대-무한대 수열의 극한 꿀팁은 제약이 있다.

루트 안의 식이 2차식일 때만 완전제곱식으로 빠르게 치환할 수 있다는 것이다.

그 제약을 뛰어넘어 보자.

1. 같은 꼴.

이건 뭐....

그냥 곱해버리면 된다.

그러면 꼴이므로 끝!

2. 같은 꼴.

이런 것이 제일 싫다 ㅜㅜ

켤레를 분모 분자 각각 설정해서 곱해줘야 하기 때문에 식이 매우 길어진다.

과연 그것밖에 방법이 없는가?

빠르게 해결할 수 있는 힌트는 --------------------- 1번 문제이다.

생각해라.

생각하고 얻어가야 자기 것이 될 수도 있다.

주어진 분수에 켤레보다 더 좋은 약이 있다.

1번 문제처럼, 을 분모 분자에 곱해주는 것이다.

그러면 식은 다음과 같이 바뀐다.

이 식은 쉽게 완전제곱식으로 치환해서 풀어버릴 수 있다!

수열의 극한 – 부정형 : 무한대-무한대  꿀팁1

도입부 

 라는 문제는 모의고사 초반에 자주 나오는 문제이다. 좀 더 어렵게도 변형되어 나오는데 많은 학생들이 이 꿀팁을 어느정도는 알고 있다. 거기에 만족하지 말고 더 확장해서 루트가 나오는 거의 모든 문제에 응용해 보자!

 를 그래프로 그리면 다음과 같다.

검은 함수는 이고, 빨간 색이 이다.

이를 좀 더 축소해서 보면

이렇다!

즉, 이 무한대가 되면 는 에 수렴한다!

왜 그런가?

이 어디로 가는지 보면 된다.

빨간 색은 , 검은색은

라는 함수를 보자.

큰 숫자를 제곱한 후 1을 더하고 다시 제곱근을 취하면~~~~  1은 별 역할을 못한다.

가 조금만 커져도 와 별 차이가 없다.

가 무한대로 가면 당연히! 에 수렴하는 값이 된다.

그러나, 는 다르다

큰 수를 제곱하고 거기에 큰 수의 2배를 더한다.

예를 들어 1억을 제곱하고 거기에 2억을 더한다. 이 숫자의 제곱근 값은 1억에 가까울까?

여기에서 아이디어가 필요하다.

무한대로 증가하는 숫자 옆에서 1이라는 숫자는 위력이 없었다.

즉, 상수항은 있으나 마나 한 존재이다.

라는 식에 적절한 상수항을 더해주면 어떤 일이 발생할까?!

 이런 식으로 말이다.

헛!

우리가 사랑하는 완전제곱식!

 아닌가!

이것이 실체이다....물론, 극한의 세계에서만 통용된다.

총정리!

 로 바꿀 수 있다!

ps. 사실, 여기에는 몇 가지 제한조건이 붙어야 한다. 무한대 – 무한대 꼴이여야 하며, 결과가 수렴하는 식에서만 사용할 수 있다. 뒷 식에서 무한대 인자를 상쇄시켜줄 때에 안전하게 사용 가능하다.

수열의 극한 합답형, 정오판정의 연역적 수학

수열의 극한의 기본성질은 다음과 같다.

이해하면서 읽으면....뭐...당연한 말!!을 하고 있다.

그러나 기본성질에서의 핵심은

이것이다!!!!

수렴하지 않는 것들을 가감승제하면 틀린 명제일 확률이 매우 높다.

수열의 극한 참거짓 주의할 점

연습문제

ㄱ. 두 수열 이 모두 수렴하면, 수열 은 수렴한다.

ㄴ. 이고 이면, 이다.

ㄷ. , 이면 이다.

ㄹ. 수열 이 모두 발산하면 수열도 발산한다.

ㅁ. 이면 또는 이다.

ㅂ. , 이면 이다.

ㅅ. 이고 이면, 수열 은 수렴한다

ㄱ. 이 0으로 수렴할 수 있으므로 거짓

ㄴ. 이 수렴했고, 거기에 수렴하는 을 더한 것이므로 참

ㄷ. 수렴하는 두 수열이므로 곱해도 된다.

ㄹ. 발산하는 것은 계산하면 틀린다! -

반례는?진동에서 발생한다고 10초전에 보셨을텐데!?!!

,     둘 다 진동하지만 곱하면 1로 수렴해 있다!

ㅁ. 은 수렴하지만 과 은 수렴하는지 알 수 없다. 단순히 둘 중 하나가 0이 아닐 수 있다.

반례는?????진동!

번갈아 가면서 0이 되는 예를 생각해볼 것!

ㅂ. 이런 꼴이라고 생각해서 ‘참’이라 판정할 수 있으면 굿!

정직한 해설은 이라 하고, 을 대입해서 푼다

ㅅ. 과 이 같아진다.....그런데 무한대에서 같아질 수 있다.!고로 거짓

삼각함수 미분공식

삼각함수의 미분은 사실 딱 두가지만 외우면 된다.

나머지 것들은 모두 계산가능하다

즉, 분수함수의 미분을 통하여 계산가능하다.

그러나, 꼭 암기해둬야 하는 공식이다.

왜.냐.하.면.

적분을 위해서!!!!!!!

닥치고 암기!!!!!!

외우지 않으면

를 풀 때 고달프다~~~

널리 알려진 육각형을 이용한 암기법!

맞은편에 있는 것과는 역수관계이다

위 2개 제곱의 합은 아래쪽의 제곱과 같다

자신과, 양 옆에 있는 삼각함수의 곱은 같다.

c로 시작하면 마이너스

c로 끝나면(아랫줄은) 자신 곱하기 짝

t가 있으면 짝의 제곱

곱함수의 미분 증명

직접 손으로 꼭 쓰면서 깨달아야 한다!