정감가는 연역적수학

삼각함수의 합성

삼각함수의 덧셈 정리에서 출발하는 공식이다!

가 주어졌을 때

, 라고 설정하면

 꼴의 두 삼각함수의 합(단 가 같은 삼각함수!)을 한 개의 삼각함수로 합성할 수 있다.

합성하면 좋은 점은?

두 개의 삼각함수일 때는 특정 각도에서의 값을 계산하기 힘들뿐더러 최댓값과 최솟값을 계산하기 힘들다

허나 한 개로 합성하고 나면 최대값은 식!은!죽!

(1) 삼각함수의 합성

오른쪽 그림과 같이 좌표평면 위에 점 를 잡고, 동경 가 축의 양의 방향과 이루는 각의 크기를 라 하면 이므로

    ,

이와 같이 의 꼴의 삼각함수를 하나의 삼각함수 의 꼴로 변형하는 것을 삼각함수의 합성이라 한다.

(2) 의 꼴을 의 꼴로 나타내는 방법

단계1 : 를 좌표, 를 좌표로 하는 점 를 좌표평면에 나타낸다.

단계2 : 의 길이 와 가 축의 양의 방향과 이루는 각의 크기 를 구한다. (단, 는 원점)

[예]

를 의

꼴로 나타내기

단계1 : 오른쪽 그림과 같이 , 의 계수 과 을 각각 좌표, 좌표로 하는 점을 라 하면

단계2 : 의 길이는  
, 을 만족하는 각 의 크기는
  ,
  
                   

사실 둘 중에 한가지 방법이면 충분하다.

주로 최댓값을 질문하므로 이 중요하다!

의 최댓값은----->!!!!

미분계수에서 도함수까지의 흐름

우선, 평균변화율을 확실히 이해하자.

식이 좀 길어보여도 무서워하면 안된다!

단지 이해를 반복해주면 될 뿐이다!

함수의 두 점에서 기울기를 구하는 것일 뿐!

여기에 의 개념을 집어 넣어서 순간적인(접선의) 기울기를 구할 수 있다.

이를 표현을 다르게 하면~

대신 를 써봤습니다....앞으로는 주로 으로 가는 값들을 로 표현하게 됩니다.

라고 놓으면

일 때 이므로

미분계수는 주로 이 식으로 표현됩니다만!

 이 식이 더 좋습니다.

어디에 좋은가?!

에서 를 로 슬쩍 바꿔주면!

 굳이 매번 계산할 필요 없는 도함수를 얻습니다.

즉, 어떤 함수에서 순간 기울기를 여러번 구해야 한다고 합시다.

1, 2, 3, 4, 5 에서의 기울기를 구해야 할 때

를 구해야 합니다.

다섯 번이나 작업을 해야 합니다.

그러나 를 통해 를 구해놓으면

간단히 새로운 함수에 1~5를 대입하는 것 만으로 미분 계수를 구할 수 있습니다!

간단한 몇가지 공식등을 통해 다항함수는 쉽게 도함수를 구할 수 있게 됩니다.

함수의 극값 = 極값 = 영어:local extremum   (최댓값은 global maximum)

특정 지점의 함수값이 주변의 함수값과 비교했을 때 가장 크거나 가장 작은 경우

미분해서 0되는 점이 아니다.

도함수가 양수에서 음수로 변하는 순간이다.

어떤 함수의 도함수가 다음 그림과 같을 때를 생각해보자.

<그림오류> 는 검은점이 아니라 하얀점!이다~

에서는 

도함수가 양수에서 음수로 변했다.

증가하다가 감소한다.

따라서 극댓값이다.

한편 에서는 어떤가?

를 경계로

도함수는 음수였다가 양수이다.

따라서 감소하다가 (뾰족하게) 증가한다.

쌤!

연속이여야 하는거 아닌가요?

함수가 연속이라고 도함수도 연속인 것은 아니다!

즉, 뾰족점, 첨점은 극값일 수 있다.

점A는 극값(극솟값)이지만 점B는 뾰족점(첨점)일 뿐 극값은 아니다~

이 부분을 모르고 시험문제내고 채점하는 학교쌤들도 봤다ㅠㅠ

무리함수, 루트x의 미분법

를 미분할 수 있을까? 어떻게 미분될까????

(로피탈의 정리를 사용하기 위해 종종 필요하다!)

단 두가지만 알면 끝!

다항함수의 미분공식과 지수법칙!

이므로

이과라면 이 정도는 자주해서 암기하듯 나와야 한다.

연습!

   (합성함수의 미분, 겉미분-속미분)

수열의 극한 참거짓.정오판정.합답형 요령있게 푸는 법

두수열 의 극한에 대해서!

ㄱ. 수열 이 에 수렴하면 수열 은 또는 에 수렴한다.

ㄴ. 수열 이 에 수렴할 때, 수열 이 발산하면 수열 은 발산한다.

ㄷ. 수열 이 수렴하면 수열 과 수열 중 적어도 하나는 수렴하다.

ㄹ. 수열 이 수렴하고 수열 이 수렴하면 수열 도 수렴하다.

ㅁ. 수열 이 수렴하면 수열 도 수렴하다.

ㅂ. 수열 이 발산하면 수열 또는 수열 이 발산한다.

ㅅ. 수열 이 수렴하는 것은 두 수열 , 이 모두 수렴하기 위한 충분조건이다.

ㅇ. 두 수열 , 이 모두 수렴하면 과 수열 은 모두 수렴하다.

ㅈ. 이고 수열 이 수렴하면 수열 도 수렴하다.

ㅊ. 수열 이고 이 발산하면 은 0으로 수렴한다.

등등등...

너무 많다!

대충 맞는거 같은데 ‘반례’ 따위가 숨어 있다던지!

(보물찾기도 아니고!내가 그걸 어떻게 찾아!!!!)

많은 문제를 풀어봐야 하지만, 대원칙부터 확실히 세우고 풀어야 한다.

대원칙이 뭐냐고?!

다들 배웠잖아.

여기서 제일 중요한 내용은 무엇이냐!!!!!!

일 때

수렴하는 수열들만 지지고 볶을 수 있다고!!!!!!

아닌 것들은 대부분 틀리다.

조금 어려운 반례들은 주로!!!! 진동하는 반례이다.

0,1,0,1...이라던지

-1, 1, -1, 1....

요런것들!

정리: 수렴하는 것들은 마음껏 지지고 볶고(나눗셈만 주의)

그게 아닌데 반례가 찾기 어려우면~~~ 진동하는 반례를 생각해볼 것.

ㄱ. 당연히 진동하는 반례 있음!

ㄴ. 수렴하지 않는 것들을 조작하니까 조심해야 한다!.....

이 진동하더라도, 도 상쇄시키며 진동하겠네?....참

ㄷ.수렴하는 것 두 개를 조작한게 아니잖는가!->진동하는 반례가 있나 볼까?.....거짓

ㄹ.수렴하는 두 개니까 마음껏~~~~ 참

ㅁ.명제의 ‘역’은 성립....그러면 진동하는 반례가 있나 찾아볼까?.....

.

.

.

수열의 극한, 무한급수의 극한, 함수의 극한, 함수의 연속

모두 같은 원리이다!

수렴하는 것들끼리는 지지고 볶을 수 있다!!!

+당연히 나눌 때만 0으로 나누지 않도록 조심!

로피탈의 정리 증명하는 법.

1) 롤의 정리를 사용하여 평균값의 정리를 증명할 수 있다.

2)롤의 정리를 사용하여 코시의 평균값의 정리를 증명할수 있다.

3) 코시의 평균값의 정리를 사용하여 로피탈의 정리를 증명할 수 있다.

설명은 생략한다....타이핑이 너무 귀찮다.

본인은 그래프로 증명하는 것을 선호한다.

x^x미분증명

우선 요거부터 보셔야 합니다.

e^x, a^x 지수함수 미분 증명

를 어떻게 미분할까요?

위 링크에서처럼 간단하게!

음함수의 미분법으로 해결합니다.

양변에 자연로그를 취하면

이를 로 미분하면

여기에서 기억할 점은 무엇인가?!

오묘한 함수들은 음함수의 미분법으로 처리한다!

e^x, a^x 지수함수 미분 증명

을 미분하면,

증명을 해보면...

도함수의 정의는 확실하게 머릿속에 각인되어 있어야 한다!

                        여기에 을 대입하면

                        그런데 는 숫자인 동시에 극한으로 정의되는 식이기도 하잖아?

                        이니까~

힌트는 여기까지~

이후는 쉬우니까~ 직접 해보시오!

사실, 로피탈의 정리를 쓰면....증명도 뭣도 아니다.

그러나, 실제로 고난도의 도함수정의 문제를 풀 때 이러한 과정들을 할 수 있는

능력이 필요한 것이다.

한편, 증명방법2

(음함수의 미분법을 활용)

음함수의 미분법으로 풀면...아주 간단하다.

 의 양변에 자연로그를 취하면    

양변을 에 대하여 미분하면  

은 어떻게 미분할까?

음함수의 미분법으로 직접 손으로 해봐라!!!!

의 양변에 자연로그를 취하면     

양변을 에 대하여 미분하면 

비고: 미분 바로가기

 즉, 분자가 상수인 분수함수의 미분

은 기억하시죠~

그게 끝.

따라서

연습!

비슷한 내용 : 무리함수의 미분 보러가기http://blog.naver.com/cronix/220339646115