정감가는 연역적수학

이번 시험의 최고난이도 문제

핵심은 무엇일까?

어떻게 해야 이런 류의 문제를 풀어내는 능력이 생길 것인가?!

적분이 잘 안되면 이것저것 구간을 나눠봐라?

아니다!

이것이 핵심이다.

거기에다가

x=a에 대칭시킨 함수와 원래 함수의 합이 일정하다는 조건.

즉, f(x) + f(2a-x) = 1 이라는 조건만 해석하면 끝인거다!!!

다항식의 곱셈정리

모든 것은 분배법칙으로부터 나온다!

(1)  

(2)  

(3)  

(4)  

(5)  

(6)  

(7)  

(8)  

(9)

(10)

기본적인 것은 1, 2, 5, 6, 8 -> 암기하는 것이 아니라 완전히 체득되어야 한다.

내신용 필수암기 9번

등차수열 공식

<<<등차등비수열의 연역적 이해 부터 보는 것이 좋습니다.>>>

이 페이지는 단지 기본공식만 수록되어 있습니다.

(1) 첫째항부터 차례로 일정한 수를 더하여 만들어지는 수열을 등차수열이라 하고, 더하는 일정한 수를 공차라 한다.
(2) 첫째항이 , 공차가 인 등차수열의 일반항 은

①　      ( (p, q는 상수)의 꼴로 공차는 p이다. )

②　

③　

(3) 세 수 가 이 순서로 등차수열을 이룰 때, 를 와 의 등차중항이라 한다.
   즉,

(4) 등차수열의 합

첫째항이 공차가 제 항이 인 등차수열의 첫째항부터 제항까지의 합 은

절대부등식 중급 : 산술기하평균, 코시-슈바르츠 부등식 등등 – 안성환쌤의 연역적수학

①

일명 산술 – 기하 –조화 평균.

각 항이 양수여야 한다!!

② 

③ | a + b | ≦ | a | + | b | (등호는 ab≧0일 때 성립)

④ a² + b² + c²≧ab + bc + ca (등호는 a = b = c일 때 성립)

⑤　(a² + b²)(c² + d²)≧(ac + bd)² (등호는 ad = bc일 때 성립)

코시-슈바르츠의 정리

⑥

흔히 나오는 문제이나 고2가 되면 까먹는 문제.

에 대한 완전제곱식으로 변형하면 쉽게 풀린다!!

이 되므로

두 실수의 제곱의 합은 0보다 크다

⑦

  ⑥번과 마찬가지로 풀린다~

나머지정리

에 대한 다항식 를 일차식 로 나누었을 때의 몫을 , 나머지를 라 하면
         (단, 는 상수)

이 등식은 에 대한 항등식이므로 양변에  를 대입하면
        

이 식이 두려운가?

나머지 정리에서 가장 중요한 식이자, 너무나도 쉬운 식이다.

이 식이 어렵게 느껴지는 이유는

기본개념이 부족해서다!

어떤 기본개념이냐고?

>>>>>란 무엇인가? 보러가기<<<<<<<<

인수정리
나머지 정리에 의하여 다항식 를 일차식 로 나누었을 때의 나머지인 가 0 이면 는 로 나누어 떨어진다. 또한 이것의 역도 성립하므로 다음과 같은 인수정리가 성립한다.

라는 함수가 주어졌다.

에 을 대입해보자.

이다.

..왜 1을 대입하니까 0이 되었을까?

가 인수분해된다면, 이 있어야만 하는 것이다.

인 꼴어여야만

이 될 것이 아닌가!

인수분해 – 조립제법 하지마라

조립제법은 없어져야 한다.

수학적인 의미도 없다.

단지 생각을 덜하고, 손으로 계산할 뿐이다.

계산이 빨라지지도 않고, 머리마저 쓰지 않으니

가장 필요 없는  계산법이다!

다행히도, 많은 학생들은 알아서 조립제법을 사용하지 않는다.

많은 선생님들도 쓰지 말라고 한다.

그런데! 설명에 설명을 들어도 너무 힘든 학생들을 위해! 준비했다!

조립제법 안쓰고 인수분해 하기 특강!

문제) 다음을 인수분해 하시오.

우선, 에 수를 대입해서 식을 으로 만드는 값을 찾아야 한다.(왜??---->나머지 정리 보러가기)

이 되는군! 좋았어!

가 될꺼야!

여기까지는 이해가 쉽다. 그런데 그 다음이 문제이다.

빈칸에 들어갈 식을 찾는 것이 어려울 수 있다!

                최고차항의 계수를 생각하면 에 곱해질 수는 이다.

                그런데, 과 도 곱해져서 을 탄생시킨다.

                우리의 목표는 의 계수를 을 만드는 것이므로!!!무엇이 필요한가?

                마찬가지로 가 나왔는데, 를 만들어야 하므로 상수항은 몇이 필요한가?

요렇게 설명들을 한다.

그래도 이해가 잘 안가거나, 오히려 실수를 하게 되고, 또는 더 오래 걸리는 학생들이 있다.

왜!!!그럴까?!나는 바보인가?!!!

세상에 바보는 없다.

중간단계를 뛰어 넘어서 그렇다.

를 전개해보라.

해보라고!

종이에다가!!!!

접기

수학을 잘하려면 – 무엇보다도!!!!

게을러야 한다.

엥?

진짜?!!

손이 게을러야 한다.

머리는 부지런해야 한다.

주어진 식을 전부 다 전개하면 답인가?

우리는 에 대한 내림차순으로 정리해줘야 한다.

처음에 전개할 때 머릿속에서 작업해서 한 번에 결과물을 써내는 연습이 되어있어야만 한다.

의 계수는

의 계수는 이므로       (괄호 안의 계산은 머릿속에서 충분히 할 수 있지?)

의 계수는 이므로 ______

상수항은

인수분해 나올 때마다 곱셈공식도 연습해라.

어느 순간 자연스럽게 될 것이다.

수학은 게을러야 하지만, 기초계산에 대한 연습은 해둬야 한다.

그래서 시험장에서 진짜로 게으를 수 있다!(??)

이차함수의 근의 분리는 두가지 방법으로 풀 수 있다.

1. 근과 계수와의 관계를 이용

2. 그래프의 개형을 이용

근과 계수와의 관계를 사용한 방법

● 이차함수 근의 분리

① 두 근이 모두 0보다 크다 : , ,

② 두 근이 모두 0보다 작다 : , ,
③ 두 근의 부호가 다르다   :

그래프의 걔형을 이용한 방법

● 이차함수 근의 분리

① 두 근이 모두 0보다 크다 : , ,

② 두 근이 모두 0보다 작다 : , ,
③ 두 근의 부호가 다르다   : (단, )

                                이면,

①번 해설:

이차방정식의 두 근이 모두 양수이려면~~~~

   : 우선,두 근이 존재해야 하고,

 : 대칭축이 축 오른쪽에 위치해야 하며

  : 대칭축이 축 오른쪽이여도 작은 근이 음수가 될 수 있다. 그것을 방지!

그래프 개형으로 푸는 것이 어찌 보면 더 어렵다.

그러나 기준이 0이 아니라 다른 점일 경우,

혹은 범위의 경우에는 그래프 개형으로 푸는 것이 좋다.

● 이차함수 근의 분리II

● 축 : , 최고차항의 계수가 양수이므로 아래로 볼록

① 두 근이 모두 보다 크다 :
② 두 근이 모두 보다 작다 :
③ 두 근 사이에 가 있다 :
④ 두 근이 모두 사이에 있다. :  

①번의 경우에 근과 계수와의 관계를 사용하면

, ,

곱셈의 경우가 난감하다.

이 기준이였다고 하자.....엥?

두 근의 곱의 범위는??....실수 전체??? 그라믄 안되는데..조건이 있긴 있어야 하는데...

그래서 그래프의 개형으로 풀어야 한다.

총평!

내신 대비로는 근과 계수가 편하고 빠르다.

그러나 결국에는 그래프 개형을 확실히 이해해서 언제든 써먹을 수 있게 해라!

절편이 , 절편이 인 직선의 방정식은

절편을 대입하면 쉽게 증명 끝.

꼭 외워라!

연습문제!

절편 2, 3

절편 1, 2

절편 3, -2

절편, -2, -3

이 공식은!!!!!!

공간에서 평면의 방정식에서 아주아주아주아주 유용하다.!

(이과만 배운다)

수1 인수분해공식, 고등학교 인수분해

기초 인수분해 공식

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

(7)

(8)

(9)

(10)

복잡한 식의 인수분해

(1) 공통부분이 있는 다항식의 인수분해

   ① 공통부분을 치환

   ② 곱셈식의 경우, 식을 적당히 전개한 다음 치환

(2) 꼴 - 복이차식

   ① 로 치환

   ② 치환을 해도 인수분해 안되면 의 꼴로 변형하면 합차공식!

(3) 여러 개의 문자가 포함된 다항식

   차수가 가장 낮은 한 문자로 인수분해한다.

(4) 삼차 이상의 다항식 의 인수분해

인수정리 사용! 

복소수공식, 복소수의 기초

허수단위

제곱하여 이 되는 수를 로 나타내고, 이를 허수단위라 한다.

   즉,

복소수의 사칙연산

가 실수일 때,

(1)

(2)

(3)

(4) (단, )

    분자, 분모에 분모 의 결레복소수 를 각각 곱하여 정리한다.

켤레복소수

(1) 복소수 (는 실수)에 대하여 를 의 켤레복소수라 하고, 로 나타낸다.

즉,

(2) 켤레복소수의 성질

   두 복소수 에 대하여

음수의 제곱근

(1) 일 때, 이고, 음수 의 제곱근은 이다.

(2) 이면

   이면 또는 또는

(3) 이면

   이면 또는