정감가는 연역적수학

무한급수와 정적분 설명

(1)
를 각 직사각형의 가로의 길이의 위치인 적분변수 로 보면 오른쪽 그림과 같이 구간 의 길이가 이므로 각 직사각형의 가로의 길이는 이고, 세로의 길이는 이다.
∴

(2)

를 각 직사각형의 가로의 길이의 위치인 적분변수 로 보면 오른쪽 그림과 같이 구간 의 길이가 이므로 각 직사각형의 가로의 길이는 이고, 세로의 길이는 이다.
∴

(3)
를 각 직사각형의 가로의 길이의 위치인 적분변수 로 보면 오른쪽 그림과 같이 구간 의 길이가 이므로 각 직사각형의 가로의 길이는 이고, 세로의 길이는 이다.
∴

(4)

를 각 직사각형의 가로의 길이의 위치인 적분변수 로 보면 오른쪽 그림과 같이 구간 의 길이가 이므로 각 직사각형의 가로의 길이는 이고, 세로의 길이는 이다.
∴

주어진 무한급수를 보고,

를 무엇으로 둘 것인지 생각해서 정적분으로 변환시키는 연습도 필요하지만,

그래프에서 구분구적법을 많이 시행해 보는 것이 우선이다.

그렇게 연습해야 최고난이도의 문제, 변형문제도 풀 수 있다.

평면에서 곡선의 길이

(1) 곡선 , 의 길이

(2) 곡선 의 길이

(2)번 공식은 사실, (1)번 공식과 같다.

(1)번 공식에 , 를 적용해보면

         ↓      ↓

  곡선의 길이의 증명

(1) 곡선 , 의 길이

곡선 , 의 길이 은 오른쪽 [그림 1]과 같이 시각 에 대하여 좌표가 이고, 좌표가 인 점 가 좌표평면 위에서 시각 부터 까지 움직인 거리와 같다.

이때 오른쪽 [그림 2]와 같이 매개변수가 부터 까지 변할 때, 점 는 점 로 움직인다고 하면, 의 증분 가 충분히 작을 때 의 증분 은 선분 의 길이와 거의 같다.

따라서 곡선 , 의 길이 은

  ㉠

(2) 곡선 의 길이

함수 는 매개변수 를 이용하여 다음과 같이 나타낼 수 있다. ,

㉠에 의하여 곡선 , 의 길이 은

입체의 부피

구간 의 임의의 점 점에서 축에 수직인 평면으로 자른 단면의 넓이가 인 입체의 부피 는

구분구적법에서

길이를 쌓았더니(적분했더니)

넓이가 나왔다!!

그럼 넓이를 쌓으면 뭐가 나오는가?!

바로 부!피!

사실 개념은 쉽다.

문제풀기가 어렵다.

무엇이 어려운가?

1. 적분하는 방향을 설정하는 것이 미숙하다.

2. 방향을 정했어도 를 구하는 것이 힘들다

즉, 도형에 약하다!는 것이다.

이는 1등급으로 가기 위한 필수 과정이다!

평면도형을 잘 하려면!

기초를 튼튼히! 생각을 많이!

순식간에 될 수 없다.

차근차근 실력을 쌓아나가야 한다!!!!

다른 포스트들 많이 보시고 열공하십쇼!

적분법 – 치환적분의 팁

다음 함수를 어떻게 치환하면 좋을까?

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

(7)

(8)

(9)

(10)

연습해보시고 답볼 것!!!!

(1) 로 치환

(2) 로 치환

(3) 로 치환

(4) 로 치환

(5) (또는 ) 로 치환

(6) 로 치환

(7) 로 치환

(8) 의 꼴 로 치환

(9) 로 치환

(10) 로 치환

이것을 암기하라는 것이 아니다!

문제가 나올 때 치환을 이렇게 하면 치환적분을 할 수 있다는 것을 자꾸 연습해서

익혀라!

(암기랑은....조금 다르다고!)

뭐가 다르냐고? 새로운 문제를 풀 수 있냐, 없냐의 차이이다.

새로운 치환적분 형태가 나왔을 때는 새로운 치환이 필요하다.

단지 저 10가지로 모든 치환적분이 되는 것은 아니다.

왜 10가지로 치환적분의 계산이 가능한지를 자꾸 익혀봐야 한다!!!!!!

삼차함수의 넓이, 삼차함수와 접선의 넓이공식

우선 요거부터 보고 보는 것이 낫......을꺼 같.........습니다...

큰 연관관계는 없지만 그냥 셋트공식이라..;;;

>>>>>>>>>>2차함수의 넓이 공식<<<<<<<<<보러가기

삼차함수는 넓이가 어떻게 될까?

이차함수처럼 딱! 공식이 없을까?

그런데!

그 전에 먼저 삼차함수가 과연 넓이가 생길지부터 생각해라!

삼차함수가 3근이 있다면야~

넓이란 것이 존재하겠지만,

어느 넓이?

게다가, 삼차함수는 근 구하기도 힘든데?

게다가 근이 한 개 밖에 없는 경우에는 넓이가 발생하지도 않는다!

즉-

삼차함수에서 넓이 공식은 짝이 있어야 한다.

짝!이라니ㅠㅜ

삼차함수와 그 접선의 넓이 공식!

3차함수 넓이  

자매품 : 4차함수와 접선의 넓이 공식(게다가 두 번이나 접하는 직선!-거의 사용할 일 없다...)

4차함수 넓이

이차함수의 넓이공식, 이차함수의 적분

몰라도 되지만~

알면 모의고사에 이로운 공식!

저 넓이 를 빨리 구하기!

(솔직히 이건 모르면 반성!)

그리고!

이차함수와 일차함수가 두 점에서 만났을 때도 쓸 수 있으며

심지어 두 이차함수가 두 점에서 만났을 때의 넓이도 구할 수 있다.

두 이차함수를 뺀 함수를 라 생각하고 구분구적법으로 생각해보면 이해할 수 있을 것이다!

>>>>삼차함수의 넓이<<<<<<보러가기

분수함수 적분 – 부분분수로 쪼개기

(i) 과 같은 형태인지 확인한 후,

아니면......(젠장)

부분분수로 쪼개서 적분해야 한다!

(ii) 인수분해 해서 미정계수법으로 구해야 한다.

규칙은 이렇다.

분모가 1차식이면 분자는 상수항

분모가 2차식이면 분자는 1차식.

분보가 완전제곱식일 경우에는 (4)번처럼 제곱 안한 형태의 분수도 필요하다.