정감가는 연역적수학

구구단을 테이블로 만들어보았습니다.

딸아이가 관심있어 할 때라 노젓기 들어갑니다.

힘들게 만든거 공유합니다.

이번 시험의 최고난이도 문제

핵심은 무엇일까?

어떻게 해야 이런 류의 문제를 풀어내는 능력이 생길 것인가?!

적분이 잘 안되면 이것저것 구간을 나눠봐라?

아니다!

이것이 핵심이다.

거기에다가

x=a에 대칭시킨 함수와 원래 함수의 합이 일정하다는 조건.

즉, f(x) + f(2a-x) = 1 이라는 조건만 해석하면 끝인거다!!!

다항식의 곱셈정리

모든 것은 분배법칙으로부터 나온다!

(1)  

(2)  

(3)  

(4)  

(5)  

(6)  

(7)  

(8)  

(9)

(10)

기본적인 것은 1, 2, 5, 6, 8 -> 암기하는 것이 아니라 완전히 체득되어야 한다.

내신용 필수암기 9번

등차수열 공식

<<<등차등비수열의 연역적 이해 부터 보는 것이 좋습니다.>>>

이 페이지는 단지 기본공식만 수록되어 있습니다.

(1) 첫째항부터 차례로 일정한 수를 더하여 만들어지는 수열을 등차수열이라 하고, 더하는 일정한 수를 공차라 한다.
(2) 첫째항이 , 공차가 인 등차수열의 일반항 은

①　      ( (p, q는 상수)의 꼴로 공차는 p이다. )

②　

③　

(3) 세 수 가 이 순서로 등차수열을 이룰 때, 를 와 의 등차중항이라 한다.
   즉,

(4) 등차수열의 합

첫째항이 공차가 제 항이 인 등차수열의 첫째항부터 제항까지의 합 은

식을 세워야 할 때는

-도함수에서 세워서 올라오는 것이 좋다.

-근 중심으로 식을 세워라. 즉, 그래프에서 튕기는 것, 뚫는 것을 생각하면서 식을 세우면 좋다.

ex) 의 개형을 그릴 수 있다면, 거꾸로 근이 주어졌을 때 그림을 보고 식을 세울 수 있다!

미분과 적분 그래프

도함수의 넓이는 원래함수의 변화량

원시함수의 변화량은 원래함수의 넓이

이차함수와 외부의 한점을 지나는 두 접선

 (단, )

1:2인 것만 외워도 좋다.

----속도와 속력----

위치함수가 주어졌을 때

        기울기 = 순간속도

속도함수가 주어졌을 때

        넓이 = 움직인 거리

        적분값 = 변위

ex) 축 위를 움직이는 점 의 시각 에서의 위치를 라 할 때, 의 그래프는 오른쪽 그림과 같이 이차함수의 그래프의 일부분이다. 옳은 것만을 보기에서 있는 대로 고른 것은?

a~d는 맞고 e~g는 틀리다.

정적분으로 정의된 함수1

정적분으로 정의된 함수2

 이면,

은 의 그래프에서 3부터 5까지의 넓이로 정의됨.

무한급수와 정적분

주의사항 :

를 결정하면 와 범위를 항상 정확히 계산할 것!

는 의 계수, 범위는 기호에 써있음!

무엇보다도..........

미분은 기울기를 뽑은 함수.

적분은 넓이를 구해놓은 함수.

미분하면 그 순간의 기울기가 구해진다.

는 상수이다.

기초에 충실해라!

1 벡터의 내적

  (1) 두 벡터가 이루는 각
영벡터가 아닌 두 벡터 에 대하여 한 점 를 잡아서 , 가 되도록

      두 점 를 정할 때, 의 크기 는 점 의 위치에 관계없이 일정하고

      를 두 벡터 가 이루는 각이라 한다.

  (2) 벡터의 내적의 정의

      영벡터가 아닌 두 벡터 가 이루는 각의 크기가 일 때

      를 와 의 내적이라고 하며, 이것을 기호로 와 같이 나타낸다. 즉
          
또한 또는 일 때에는 또는 이므로 으로 정하고 이면 에서 이므로 이다.

2 벡터의 내적과 성분

   벡터의 내적을 성분을 이용하여 나타내면 다음과 같다.

  (1) 일 때              

  (2) 일 때               

합성함수 미분증명

를 미분해보자.

합성함수를 미분하라는 것이다!

가장 중요한 기초는 미분계수의 정의 식이다.

이 식을 로 바꿔치기하여

로 바꿔줄 수 있다.

이 식은 다음과 같이 이해하자.

이제 합성함수를 미분해보자.

우변을 어떻게 처리해야 할까?

그냥 라고 해버리고 싶지만....절대안된다!

그래프로 보여주면 참 쉬운데~

그림그리기는 힘드니까...

암튼 안된다고!

다시 이 식을 뚫어지게 보자.

에 집어넣은 변수들만 뽑아서 분모에서 빼주어야 한다.

즉,

가 분모네 있어야 하겠구나!!!를 기억해야 한다.

비어있는 분수를 완성하면 끝!

삼차함수의 비밀1

삼차함수

에서 생각하자.

여기에 비밀이 있다.

1:1:1 이라는 놀라운 비율이 숨어있다.

극소점에서 접선을 그리자.

극소점에서의 접선이 함수와 만나는 점, 극대값의 좌표와 변곡점의 좌표, 그리고 극솟값.

완벽한 등차수열이다.

,

,

   (점

는 극솟값)

세 선분의 길이가 같다.

많은 방법으로 응요할 수 있으며 모르면 안되는 필수지식!

응용편은 다음에...

삼각함수의 덧셈 정리, sin cos tan 합공식

(1)

(2)

(3)

증명은 그리 중요하지 않다.

이것은 암기필수 공식!!!

배각, 반각등 모든 공식이 여기에서 나온다.

그래도 증명은 첨부한다.

sin 증명

삼각형의 넓이를 이용한 증명   그림과 같이 의 꼭짓점 에서 변 에 내린 수선의 발을 라 하면 이므로                                  한편 와 에서 이므로 이를 ㉠에 대입하면

cos 증명

그림과 같이 두 각 가 나타내는 두 동경이 단위원과 만나는 점을 각각 라 하면   이때 에서 제이코사인법칙에 의하여                                                또한 두 점 사이의 거리의 제곱은              따라서 ㉠=㉡이므로                  ㉢에 대신 를 대입하면

tan 증명 – 가장 사용빈도가 낮아 까먹기 좋다. 몇 번 증명해보면 순식간에 만들어낼 수 있다~!

이므로          ( )   위의 등식에서 우변의 분자, 분모를 ( )로 각각 나누면                          ㉥에 대신 를 대입하면

무한급수와 정적분 설명

(1)
를 각 직사각형의 가로의 길이의 위치인 적분변수 로 보면 오른쪽 그림과 같이 구간 의 길이가 이므로 각 직사각형의 가로의 길이는 이고, 세로의 길이는 이다.
∴

(2)

를 각 직사각형의 가로의 길이의 위치인 적분변수 로 보면 오른쪽 그림과 같이 구간 의 길이가 이므로 각 직사각형의 가로의 길이는 이고, 세로의 길이는 이다.
∴

(3)
를 각 직사각형의 가로의 길이의 위치인 적분변수 로 보면 오른쪽 그림과 같이 구간 의 길이가 이므로 각 직사각형의 가로의 길이는 이고, 세로의 길이는 이다.
∴

(4)

를 각 직사각형의 가로의 길이의 위치인 적분변수 로 보면 오른쪽 그림과 같이 구간 의 길이가 이므로 각 직사각형의 가로의 길이는 이고, 세로의 길이는 이다.
∴

주어진 무한급수를 보고,

를 무엇으로 둘 것인지 생각해서 정적분으로 변환시키는 연습도 필요하지만,

그래프에서 구분구적법을 많이 시행해 보는 것이 우선이다.

그렇게 연습해야 최고난이도의 문제, 변형문제도 풀 수 있다.