정감가는 연역적수학

수열은.....................................‘칸’이다.

징기스칸~~~~

이 아니다.

그냥 한칸, 두칸, 세칸! 이것이 수열이다!

자, 수직선에서 놀아보는 수열!

용어정리: 

  : 첫 번째 항!

  : 두 번째 항

.

.

.

 : 열 번째 항

.

.

.

  : 번째 항  :  마치 처럼 에 숫자를 대입하여 조작할 수 있다. 와의 차이점은

                    에는 자연수만 대입하여야 한다는 것이다! 왜일까?!

                    수열은 개수를 센다. 번째 숫자. 요런거 없다. 번째 숫자, 번째 숫자도 없다!

등차수열이란? 차이가 일정한 수열!

        그렇다면 그 일정한 차이를 무엇이라 불러줄까?   =  공차 =

공차가 바로 ‘칸’이다.

자, 수직선으로 가보자.

수직선에 다음과 같이 등차수열을 배열한다.....

차이가 똑같은 숫자들을 배열하니까 수직선에 예쁘게 배열할 수 있다!

-----------------

= 등차수열

이것이 전부이다!

에서 까지는 한 칸 이동한다.

수식으로 나타내자면

자, 한 번 더 해보자

부터 까지는 몇칸?

10칸???일리가!!

1부터 10은 9칸이다!

따라서

요기까지 이해했으면, 게임 끝!

자, 마지막 관문!

칸!!!

이 아니고, 칸이다!

이를 식으로 표현하면,

이것이 보통 배우는 등차수열의 일반항 공식이다.

그러나! 이 공식은 사용하면 안되는 공식이다.

왜냐~~~

자, , 인 등차수열이 있다. 은 몇인가?

공식에 대입하면 을 구하고, 도 구해서 다시 을 구한다.

4층과 8층을 알려주고 10층을 가랬더니 1층에 내려왔다가 10층까지 다시 올라가는 꼴이다.

어떻게 풀어야 잘했다고 소문나는가!

에서 은 몇칸인가?    -4칸!

4칸은 숫자로는 몇인가?    - 12!

따라서 한 칸은 3이다.

은 에서 두 칸만 가면 되니까~~~~

, 끝!

연역적으로 적용시켜 보자!

일 때 공차를 구하여라

첫항끼리만 비교하자.

과

총 두칸이 커졌다.

두 번째 항끼리도 두칸이 커졌다.

따라서 총 6칸이 커졌다.

그게 (30-18)라고 주어졌네?

공차는!!!!

다음은 빨리 풀 수 있는 문제들이다.

1. , 를 만족하는 등차수열 에 대하여 의 값은?

2. 두 등차수열 에서
     
일 때, 의 값을 구하여라.

3. , 일 때, 을 구하여라(단, 은 부터 까지의 합)

무한대-무한대 수열의 극한 꿀팁2

무한대-무한대 수열의 극한 꿀팁1을 꼭 보고 와야 한다!

무한대-무한대 수열의 극한 꿀팁은 제약이 있다.

루트 안의 식이 2차식일 때만 완전제곱식으로 빠르게 치환할 수 있다는 것이다.

그 제약을 뛰어넘어 보자.

1. 같은 꼴.

이건 뭐....

그냥 곱해버리면 된다.

그러면 꼴이므로 끝!

2. 같은 꼴.

이런 것이 제일 싫다 ㅜㅜ

켤레를 분모 분자 각각 설정해서 곱해줘야 하기 때문에 식이 매우 길어진다.

과연 그것밖에 방법이 없는가?

빠르게 해결할 수 있는 힌트는 --------------------- 1번 문제이다.

생각해라.

생각하고 얻어가야 자기 것이 될 수도 있다.

주어진 분수에 켤레보다 더 좋은 약이 있다.

1번 문제처럼, 을 분모 분자에 곱해주는 것이다.

그러면 식은 다음과 같이 바뀐다.

이 식은 쉽게 완전제곱식으로 치환해서 풀어버릴 수 있다!

수열의 극한 – 부정형 : 무한대-무한대  꿀팁1

도입부 

 라는 문제는 모의고사 초반에 자주 나오는 문제이다. 좀 더 어렵게도 변형되어 나오는데 많은 학생들이 이 꿀팁을 어느정도는 알고 있다. 거기에 만족하지 말고 더 확장해서 루트가 나오는 거의 모든 문제에 응용해 보자!

 를 그래프로 그리면 다음과 같다.

검은 함수는 이고, 빨간 색이 이다.

이를 좀 더 축소해서 보면

이렇다!

즉, 이 무한대가 되면 는 에 수렴한다!

왜 그런가?

이 어디로 가는지 보면 된다.

빨간 색은 , 검은색은

라는 함수를 보자.

큰 숫자를 제곱한 후 1을 더하고 다시 제곱근을 취하면~~~~  1은 별 역할을 못한다.

가 조금만 커져도 와 별 차이가 없다.

가 무한대로 가면 당연히! 에 수렴하는 값이 된다.

그러나, 는 다르다

큰 수를 제곱하고 거기에 큰 수의 2배를 더한다.

예를 들어 1억을 제곱하고 거기에 2억을 더한다. 이 숫자의 제곱근 값은 1억에 가까울까?

여기에서 아이디어가 필요하다.

무한대로 증가하는 숫자 옆에서 1이라는 숫자는 위력이 없었다.

즉, 상수항은 있으나 마나 한 존재이다.

라는 식에 적절한 상수항을 더해주면 어떤 일이 발생할까?!

 이런 식으로 말이다.

헛!

우리가 사랑하는 완전제곱식!

 아닌가!

이것이 실체이다....물론, 극한의 세계에서만 통용된다.

총정리!

 로 바꿀 수 있다!

ps. 사실, 여기에는 몇 가지 제한조건이 붙어야 한다. 무한대 – 무한대 꼴이여야 하며, 결과가 수렴하는 식에서만 사용할 수 있다. 뒷 식에서 무한대 인자를 상쇄시켜줄 때에 안전하게 사용 가능하다.

수직선!!!!!!

자, 수직선이 있다. 3이란 점은 0에서 3칸 오른쪽으로 간 점이다.

근데 한 칸의 길이는 누가 정했지?

저 한 칸의 길이가 이 수직선의 두 번째 기준이다!  

엥? 첫 번째 기준은 뭔데!!!

0이 기준점!!!!!일 수도 아닐수도.

모든 점이 기준점이 될 수 있다.

무슨 철학적 헛소리냐고?

수직선이 완전히 비어있다고 하자.

아무도 밟지 않은 순백의......눈밭같다.

여기에 족적을 남기자!

첫 번째 발자욱이다.

저 점의 이름은, 너희 맘이다.

1억이라고 해도 되고, -2, 또는 ....실수이기만 하면 된다.

따라서 기준은 모든 점이 될 수 있다.

그리고! 수직선을 결정지으려면 한 가지 기준이 더 필요하다!바로 두 번째 기준!

한 칸의 길이!!

(물론~ 한 칸이 아니라 칸의 길이를 잡아도 되겠다~)

이 두가지가 결정되어야 수직선이 완성된다.

수직선은 1차원이다.

즉, 한 개의 변수로 나타낼 수 있다.

1과 2 사이의 정 가운데 점은 이름이 무엇인가?

 ,

점 한 개가 정보 한 개와 일대일 대응 된다.

그래서 1차원이다.

수직선을 그냥 라고 표현했다고 하자.

어려운 소리가 아니라 그냥 보이는 그대로이다. 이면 3인 점이다.

여기에서 라는 선을 생각해보자.

같은 수직선에 표현 가능하지만 기준점과 방향이 달라졌다.

또는 같은 표현도 가능하다.

중요한 것은 지금 본 3가지 표현 모두 같은 직선을 나타낸다는 것이다.

이 간단한(?) 사실을 2차원의 직선과 3차원의 직선에서 적용시켜 보자!

공간에서 직선의 방정식

필요한 기초개념!

1. 수직선

2. 평면에서의 직선의 방정식

3. 벡터

직선이란 무엇인가? 1차원이다!

모든 점을 기준점에서 변수 1개로 나타낼 수 있다.

보통 직선의 방정식은 이렇게 배웠지?

쌤이 보기에는 별로 안좋은 식이다!

일단 모양이 무섭다.

무엇보다, 실제로 문제를 풀 때 사용하지 못한다.

직선이지만, 우리는 문제를 풀 때 직선위의 한 점을 다뤄야 한다.

저 식에 점이 어디 있는가?

자, 벡터로 표현한 직선의 방정식도 배웠을 것이다....(근데 기억 안나지?ㅋㅋㅋ 이걸 기억하는 학생은 별로 없음)

두 개념을 조합해서 확실하게 끝내봅시다!

점 을 지나고, 벡터 에 평행한 직선의 방정식은 점은 이렇게 표현할 수 있다.

이차함수의 근의 분리는 두가지 방법으로 풀 수 있다.

1. 근과 계수와의 관계를 이용

2. 그래프의 개형을 이용

근과 계수와의 관계를 사용한 방법

● 이차함수 근의 분리

① 두 근이 모두 0보다 크다 : , ,

② 두 근이 모두 0보다 작다 : , ,
③ 두 근의 부호가 다르다   :

그래프의 걔형을 이용한 방법

● 이차함수 근의 분리

① 두 근이 모두 0보다 크다 : , ,

② 두 근이 모두 0보다 작다 : , ,
③ 두 근의 부호가 다르다   : (단, )

                                이면,

①번 해설:

이차방정식의 두 근이 모두 양수이려면~~~~

   : 우선,두 근이 존재해야 하고,

 : 대칭축이 축 오른쪽에 위치해야 하며

  : 대칭축이 축 오른쪽이여도 작은 근이 음수가 될 수 있다. 그것을 방지!

그래프 개형으로 푸는 것이 어찌 보면 더 어렵다.

그러나 기준이 0이 아니라 다른 점일 경우,

혹은 범위의 경우에는 그래프 개형으로 푸는 것이 좋다.

● 이차함수 근의 분리II

● 축 : , 최고차항의 계수가 양수이므로 아래로 볼록

① 두 근이 모두 보다 크다 :
② 두 근이 모두 보다 작다 :
③ 두 근 사이에 가 있다 :
④ 두 근이 모두 사이에 있다. :  

①번의 경우에 근과 계수와의 관계를 사용하면

, ,

곱셈의 경우가 난감하다.

이 기준이였다고 하자.....엥?

두 근의 곱의 범위는??....실수 전체??? 그라믄 안되는데..조건이 있긴 있어야 하는데...

그래서 그래프의 개형으로 풀어야 한다.

총평!

내신 대비로는 근과 계수가 편하고 빠르다.

그러나 결국에는 그래프 개형을 확실히 이해해서 언제든 써먹을 수 있게 해라!

절편이 , 절편이 인 직선의 방정식은

절편을 대입하면 쉽게 증명 끝.

꼭 외워라!

연습문제!

절편 2, 3

절편 1, 2

절편 3, -2

절편, -2, -3

이 공식은!!!!!!

공간에서 평면의 방정식에서 아주아주아주아주 유용하다.!

(이과만 배운다)

의 대처법  (단, 은 정수)

기본적 풀이흐름 : 이라 놓고 에 대한 식을 풀고 의 범위를 구한다.
        
          
       (은 정수)
     
     와 가 섞인 식에서는 를 상수취급!

사실, 는 쉽다.

반올림과 내림 중에서 쉬운 것은?

생각 안하는 내림!!!

가우스가 바로 내림이다!!!

음수일 경우에만 조금 주의할 것~

수직선에서 왼쪽 정수를 택하는 것이 가우스이다!

ps.

와 를 구별할 줄 알아야 한다.

연습문제 - 와 를 그려보시오!

포물선의 기하학적 성질

포물선의 꿀팁 공식중 기초!

다음 두 가지는 꼭 암기해라

포물선의 접선에서 생기는 마름모

포물선과 그 초점을 지나는 직선에서

이제 유리수!

지수에 유리수를 넣어보자고!

..조금 무섭게 생겼다.

자자, 숫자는 너희를 해칠 수 없어!. 쫄지마!

우리가 모르는 숫자니까, 우리가 아는 숫자로 바꿔주자

필요한건 뭐?

니까 를 더하면 1이 되잖느냐!

우리가 아는 자연수로 만들어주자!

오호, 어떻게 하지?

         (어? 는 아닌가?)

이것은 의 몇승을 하더라도 양수가 나오는 이유 때문에 그렇다.

좀 어려운 이야기...

그냥, 음수 생각 안해도 되니 편하게 생각해!

말로 이해해 보자.

란 것은 2를 절반만 곱한 숫자!

그럼 절반 더 곱해주면 2가 되겠군!

따라서

(사실, 보다 가 훨씬 좋은 표기법이다. 계산도 편하고 더 자연스럽다....?)

ps.지수법칙에 요주의사항!

계산연습을 많이 하여도 한동안 헷갈리는게 과 이다.

자꾸 글로 읽으면서 적응해라!

2의 –1승이라고 읽고, 머릿속에서는 2를 –1번 곱한다?  2로 나눈다!

2의 라고 읽고, 생각할 때는 2를 번 곱한다?