posted by 정감T 2015. 5. 29. 16:53

삼각함수 미분공식



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삼각함수의 미분은 사실 딱 두가지만 외우면 된다.


나머지 것들은 모두 계산가능하다


즉, 분수함수의 미분을 통하여 계산가능하다.



그러나, 꼭 암기해둬야 하는 공식이다.



왜.냐.하.면.



적분을 위해서!!!!!!!


닥치고 암기!!!!!!


외우지 않으면

를 풀 때 고달프다~~~


널리 알려진 육각형을 이용한 암기법!


그림입니다.
원본 그림의 이름: mem000030acbed7.png
원본 그림의 크기: 가로 300pixel, 세로 227pixel











맞은편에 있는 것과는 역수관계이다

위 2개 제곱의 합은 아래쪽의 제곱과 같다

자신과, 양 옆에 있는 삼각함수의 곱은 같다.

c로 시작하면 마이너스

c로 끝나면(아랫줄은) 자신 곱하기 짝

t가 있으면 짝의 제곱


posted by 정감T 2015. 5. 29. 16:51

곱함수의 미분 증명




                                    분자에 를 빼고 다시 더해서 식을 이끌어 내는 것이 포인트!

 

                

                                    잘 묶어주면~

                

 

                

 

                




직접 손으로 꼭 쓰면서 깨달아야 한다!


posted by 정감T 2015. 5. 29. 16:50

삼각함수의 합성





삼각함수의 덧셈 정리에서 출발하는 공식이다!

 



가 주어졌을 때

, 라고 설정하면

 꼴의 두 삼각함수의 합(단 가 같은 삼각함수!)을 한 개의 삼각함수로 합성할 수 있다.


합성하면 좋은 점은?

두 개의 삼각함수일 때는 특정 각도에서의 값을 계산하기 힘들뿐더러 최댓값과 최솟값을 계산하기 힘들다

허나 한 개로 합성하고 나면 최대값은 식!은!죽!



(1) 삼각함수의 합성

오른쪽 그림과 같이 좌표평면 위에 점 를 잡고, 동경 축의 양의 방향과 이루는 각의 크기를 라 하면 이므로

    ,

    

    

    

    

이와 같이 의 꼴의 삼각함수를 하나의 삼각함수 의 꼴로 변형하는 것을 삼각함수의 합성이라 한다.



(2) 의 꼴을 의 꼴로 나타내는 방법

단계1 : 좌표, 좌표로 하는 점 를 좌표평면에 나타낸다.

단계2 : 의 길이 축의 양의 방향과 이루는 각의 크기 를 구한다. (단, 는 원점)

[예]

꼴로 나타내기

단계1 : 오른쪽 그림과 같이 , 의 계수 을 각각 좌표, 좌표로 하는 점을 라 하면

단계2 : 의 길이는  
, 을 만족하는 각 의 크기는
  ,
  
                   






사실 둘 중에 한가지 방법이면 충분하다.

주로 최댓값을 질문하므로 이 중요하다!

의 최댓값은----->!!!!

posted by 정감T 2015. 5. 29. 16:49

평면에서 곡선의 길이

(1) 곡선 , 의 길이


(2) 곡선 의 길이





(2)번 공식은 사실, (1)번 공식과 같다.

(1)번 공식에 , 를 적용해보면

         ↓      ↓








  곡선의 길이의 증명

(1) 곡선 , 의 길이

곡선 , 의 길이 은 오른쪽 [그림 1]과 같이 시각 에 대하여 좌표가 이고, 좌표가 인 점 가 좌표평면 위에서 시각 부터 까지 움직인 거리와 같다.

이때 오른쪽 [그림 2]와 같이 매개변수가 부터 까지 변할 때, 점 는 점 로 움직인다고 하면, 의 증분 가 충분히 작을 때 의 증분 은 선분 의 길이와 거의 같다.

따라서 곡선 , 의 길이

  ㉠





(2) 곡선 의 길이

함수 는 매개변수 를 이용하여 다음과 같이 나타낼 수 있다. ,

㉠에 의하여 곡선 , 의 길이


posted by 정감T 2015. 5. 29. 16:47

1. 축의 둘레로 회전시킨 회전체의 부피


   






2. 축의 둘레로 회전시킨 회전체의 부피


   









단면적의 넓이를 적분하면 부피가 나오는 것을 생각하면 쉽게 이해할 수 있다!



즉, 이것이 이해가 안가거나 외워지지 않는다는 것은


<입체의 부피>------------보러가기


부터 확실히 이해해야 한다~




posted by 정감T 2015. 5. 29. 16:47

입체의 부피



구간 의 임의의 점 점에서 축에 수직인 평면으로 자른 단면의 넓이가 인 입체의 부피

        














구분구적법에서


길이를 쌓았더니(적분했더니)


넓이가 나왔다!!




그럼 넓이를 쌓으면 뭐가 나오는가?!


바로 부!피!






사실 개념은 쉽다.


문제풀기가 어렵다.


무엇이 어려운가?


1. 적분하는 방향을 설정하는 것이 미숙하다.

2. 방향을 정했어도 를 구하는 것이 힘들다



즉, 도형에 약하다!는 것이다.



이는 1등급으로 가기 위한 필수 과정이다!


평면도형을 잘 하려면!




기초를 튼튼히! 생각을 많이!


순식간에 될 수 없다.


차근차근 실력을 쌓아나가야 한다!!!!


다른 포스트들 많이 보시고 열공하십쇼!

posted by 정감T 2015. 5. 29. 16:46

미분계수에서 도함수까지의 흐름


우선, 평균변화율을 확실히 이해하자.


식이 좀 길어보여도 무서워하면 안된다!


단지 이해를 반복해주면 될 뿐이다!

함수의 두 점에서 기울기를 구하는 것일 뿐!




여기에 의 개념을 집어 넣어서 순간적인(접선의) 기울기를 구할 수 있다.




이를 표현을 다르게 하면~


대신 를 써봤습니다....앞으로는 주로 으로 가는 값들을 로 표현하게 됩니다.



라고 놓으면

일 때 이므로


미분계수는 주로 이 식으로 표현됩니다만!


 이 식이 더 좋습니다.


어디에 좋은가?!


에서 로 슬쩍 바꿔주면!


 굳이 매번 계산할 필요 없는 도함수를 얻습니다.


즉, 어떤 함수에서 순간 기울기를 여러번 구해야 한다고 합시다.

1, 2, 3, 4, 5 에서의 기울기를 구해야 할 때


를 구해야 합니다.


다섯 번이나 작업을 해야 합니다.



그러나 를 통해 를 구해놓으면


간단히 새로운 함수에 1~5를 대입하는 것 만으로 미분 계수를 구할 수 있습니다!



간단한 몇가지 공식등을 통해 다항함수는 쉽게 도함수를 구할 수 있게 됩니다.


posted by 정감T 2015. 5. 29. 16:45

함수의 극값 = 極값 = 영어:local extremum   (최댓값은 global maximum)



특정 지점의 함수값이 주변의 함수값과 비교했을 때 가장 크거나 가장 작은 경우




미분해서 0되는 점이 아니다.


도함수가 양수에서 음수로 변하는 순간이다.


어떤 함수의 도함수가 다음 그림과 같을 때를 생각해보자.

그림입니다.
원본 그림의 이름: 뾰족점과 극값1.jpg
원본 그림의 크기: 가로 406pixel, 세로 341pixel

<그림오류> 는 검은점이 아니라 하얀점!이다~


에서는 

도함수가 양수에서 음수로 변했다.

증가하다가 감소한다.

따라서 극댓값이다.


한편 에서는 어떤가?

를 경계로

도함수는 음수였다가 양수이다.

따라서 감소하다가 (뾰족하게) 증가한다.



쌤!

연속이여야 하는거 아닌가요?





함수가 연속이라고 도함수도 연속인 것은 아니다!




즉, 뾰족점, 첨점은 극값일 수 있다.


그림입니다.
원본 그림의 이름: 뾰족점과 극값.jpg
원본 그림의 크기: 가로 406pixel, 세로 341pixel

점A는 극값(극솟값)이지만 점B는 뾰족점(첨점)일 뿐 극값은 아니다~



이 부분을 모르고 시험문제내고 채점하는 학교쌤들도 봤다ㅠㅠ

posted by 정감T 2015. 5. 29. 16:43

무한급수 빠르게 풀기 팁



1. 공비가 일 때는 암기해라


첫째항




2. 같은 문제의 경우


 로 쓰지 말고~


세로로 써봐라.


  

   ⁝

훨씬 쉽게 지워나갈 수 있다.



3. 같은 경우에는 최대한 암산해봐라!


이 무리수가 아닌 다음에야~ 충분히 암산할 수 있다.


범분수는 그저 나눗셈일 뿐이다.


일 뿐이다.


분모의 분수만 뒤집어서 곱해주면 끝!




4. 따라서 공비가 일 때는?


posted by 정감T 2015. 5. 29. 16:42

등비수열의 합 빠르게 풀기 팁




이 팁은 공비가 2이거나, 일 때만 가능하다.







답은



why?









엥?어떻게 계산한 거지?





이 답이다!




공비가 2인 등비수열의 합은,

마지막 항의 다음항  -   첫 번째 항


이 답이 그렇다면 공비가 일 때는?


거꾸로 보면 된다!?


등비수열은 순서룰 뒤집으면, 공비도 뒤집힌다!



공비가 인 수열이 있다.


이 수열을 순서를 뒤집으면


공비가 !  똭!!

 


따라서 공비가 일 때는 순서를 뒤집어서 생각!