정감가는 연역적수학

이차곡선, 접선이 직교하는 점들의 자취

포물선- 준선

(포물선의 기하학적 성질 참조)

암기란 힘든 것이다.

쉽게 이해해보자!

타원이 꽉 차는(외접하는)   반듯한(각 변이 축, 축에 평행한) 직사각형을 생각하자.

직사각형의 각 꼭짓점이 조건을 만족하는 점이다.  점 4개를 지나는 원은 유일하다!

그래서 반지름이 이다!

이해가 안가면 타원의 기본개념이 부족하다!

쌍곡선은 타원과 셋트라고 암기하자~

원래 쌍곡선은 타원과 셋트로 암기하지 않았던가!

한 번 쯤은 의 기하학적인 의미를 부여하는 것을 연습해보길 권장~

적분법 – 치환적분의 팁

다음 함수를 어떻게 치환하면 좋을까?

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

(7)

(8)

(9)

(10)

연습해보시고 답볼 것!!!!

(1) 로 치환

(2) 로 치환

(3) 로 치환

(4) 로 치환

(5) (또는 ) 로 치환

(6) 로 치환

(7) 로 치환

(8) 의 꼴 로 치환

(9) 로 치환

(10) 로 치환

이것을 암기하라는 것이 아니다!

문제가 나올 때 치환을 이렇게 하면 치환적분을 할 수 있다는 것을 자꾸 연습해서

익혀라!

(암기랑은....조금 다르다고!)

뭐가 다르냐고? 새로운 문제를 풀 수 있냐, 없냐의 차이이다.

새로운 치환적분 형태가 나왔을 때는 새로운 치환이 필요하다.

단지 저 10가지로 모든 치환적분이 되는 것은 아니다.

왜 10가지로 치환적분의 계산이 가능한지를 자꾸 익혀봐야 한다!!!!!!

무리함수, 루트x의 미분법

를 미분할 수 있을까? 어떻게 미분될까????

(로피탈의 정리를 사용하기 위해 종종 필요하다!)

단 두가지만 알면 끝!

다항함수의 미분공식과 지수법칙!

이므로

이과라면 이 정도는 자주해서 암기하듯 나와야 한다.

연습!

   (합성함수의 미분, 겉미분-속미분)

이차방정식의 근과 계수와의 관계

모든 이차방정식은 (는 실수,     ->이면 이차방정식이 아니니까

이 이차방정식의 두 근을 라 하고

근을 중심으로 방정식을 다시 쓰면

자, 여기에서 두 식은 같다는 것을 인정해라!

즉, 다음과 같은 식이 가능하다.

는 0이 아니니까~ 양변을 나눠주고~

계수비교를 통해 정리해주면~

암기해야만 한다만, 자꾸 식에서 만들어도 보시길!

까먹어도 만들어 낼 수 있어야 한다.

타원의 기하학적 비밀

타원의 정의는 기억..암기하고 있겠지?

평면 위의 두 정점으로부터의 거리의 합이 일정한 점들의 집합.

자, 그럼 타원을 재정의 해보자.

더 간단하다!

타원은, 원의 정사영이다.

끝.

또한, 타원의 매개변수 방정식

이것만 보면 이해가 불가능하다.

원 위의 한 점은, (, )부터 이해하고, 타원은 원의 정사영인 것들 합쳐서 이해해야 한다.

근데, 정사영이란 공간에서 정의되는 것이였다.

정사영 : 수선의 발의 집합

그런데 평면에서 웬 정사영?

정확히는 이거다.

또는

원을 축소/확대 시킨 것이다.

여기서 축소/확대의 기준은 원점이 아니라 축 또는 축!

평면도형에서 확실히 이해해야 한다.--------->보러가기(작업중)

수열의 극한 참거짓.정오판정.합답형 요령있게 푸는 법

두수열 의 극한에 대해서!

ㄱ. 수열 이 에 수렴하면 수열 은 또는 에 수렴한다.

ㄴ. 수열 이 에 수렴할 때, 수열 이 발산하면 수열 은 발산한다.

ㄷ. 수열 이 수렴하면 수열 과 수열 중 적어도 하나는 수렴하다.

ㄹ. 수열 이 수렴하고 수열 이 수렴하면 수열 도 수렴하다.

ㅁ. 수열 이 수렴하면 수열 도 수렴하다.

ㅂ. 수열 이 발산하면 수열 또는 수열 이 발산한다.

ㅅ. 수열 이 수렴하는 것은 두 수열 , 이 모두 수렴하기 위한 충분조건이다.

ㅇ. 두 수열 , 이 모두 수렴하면 과 수열 은 모두 수렴하다.

ㅈ. 이고 수열 이 수렴하면 수열 도 수렴하다.

ㅊ. 수열 이고 이 발산하면 은 0으로 수렴한다.

등등등...

너무 많다!

대충 맞는거 같은데 ‘반례’ 따위가 숨어 있다던지!

(보물찾기도 아니고!내가 그걸 어떻게 찾아!!!!)

많은 문제를 풀어봐야 하지만, 대원칙부터 확실히 세우고 풀어야 한다.

대원칙이 뭐냐고?!

다들 배웠잖아.

여기서 제일 중요한 내용은 무엇이냐!!!!!!

일 때

수렴하는 수열들만 지지고 볶을 수 있다고!!!!!!

아닌 것들은 대부분 틀리다.

조금 어려운 반례들은 주로!!!! 진동하는 반례이다.

0,1,0,1...이라던지

-1, 1, -1, 1....

요런것들!

정리: 수렴하는 것들은 마음껏 지지고 볶고(나눗셈만 주의)

그게 아닌데 반례가 찾기 어려우면~~~ 진동하는 반례를 생각해볼 것.

ㄱ. 당연히 진동하는 반례 있음!

ㄴ. 수렴하지 않는 것들을 조작하니까 조심해야 한다!.....

이 진동하더라도, 도 상쇄시키며 진동하겠네?....참

ㄷ.수렴하는 것 두 개를 조작한게 아니잖는가!->진동하는 반례가 있나 볼까?.....거짓

ㄹ.수렴하는 두 개니까 마음껏~~~~ 참

ㅁ.명제의 ‘역’은 성립....그러면 진동하는 반례가 있나 찾아볼까?.....

.

.

.

수열의 극한, 무한급수의 극한, 함수의 극한, 함수의 연속

모두 같은 원리이다!

수렴하는 것들끼리는 지지고 볶을 수 있다!!!

+당연히 나눌 때만 0으로 나누지 않도록 조심!

로그공식 까먹었을 때 만들기!로그공식 암기법!

자, 지수로 놀아보자.

.

.

.

.......스파이가 숨어있네?

의 몇승을 하면 이 나올까?

그런 숫자가 있을 리가?.....

아니지...수학은 있을지도 몰라....수학자들이 늘 그렇지 뭐........또 뭔가 만들어냈겠지....휴우....

생각해보니 가능하지 않을까?

아마도 과 사이의 어떤 값이겠지?

그런데, 무리..........수이다.

무리수라고!

사실, 무리수는 표현방법을 새로 만들어야만 표기가 가능하다.  

--------수체계의 새로운 설명 1 보러가기--------------(물론, 공사중...)

그래서 정의했다. 로!그!

요것을 

이라고 쓴다.

로그 끝!

첨자로 써진 작은 숫자를 ‘밑’.......지수에서도 밑이라 했는데!!!

일관성이 있어서 외우기 좋.....지?

을 진수: 지수의 친구라고 하자......웬지...여자친구같은데?.....지수와 로그도 커플일세ㅠㅠ

그럼 은?

그냥 계산 결과값이지. 이름없다.

(허나!, 지수표현으로 바꾸면 ‘지수’가 된다고~)

이것이 로그의 정의이다.

모든 문제풀이는 여기서 출발해라.

자, 로그공식의 첫 번째는 이것이다.

가장 쉽게 외우려면~

와 비교하자.

지수와 로그은 커플인데, 서로 정 반대의 커플이다.

(정확히는 역연산!!!!)

따라서 ~

지수는 ‘곱한 것’이 ‘더하기’로 합쳐졌으니까~

로그는 ‘더한 것’이 ‘곱하기’로 합쳐진다!

로그 공식의 첫 번째는 이것이다.

로그끼리합은 곱의 로그

로그합은 곱이라고 외웠다가는....

라는 말도 안되는 공식과 헷갈리니까.....조심

자, 그렇다면

덧셈이 곱셈이 되니까~

뺄셈은!!!!!!!

나.눗.셈이겠지!

쫄지말고, 같은 기호니까 두배해주면 되겠지?!

근데 공식에도 적용해보면,

따라서!

쪼끔 더 생각해보면!

기초 로그 공식은 해결된다!

<<<<<<로그 공식 전체 보러가기>>>>>>>>>>>>

한편,

란 식은

이렇게 바꿔서 읽어주자.

는 어떻게 읽지?

의 몇 승을 하면 가 나오지?그 값!

---> 의 몇승해야 16이 나오지?................4!

따라서

이런 말바꿈에 익숙해져라!

그게 로그의 정의니까....

연습!

지수로 바꿔보면 된다!

에 몇 승해야 인가?!????

<<<<<<<<<<<<<왜 어떤수의 승은 인가?>>>>>>>>>>>>>>>>>>>보러가기

이차방정식 근의 공식

는 몇인가?

너무 쉽네~

조금 더 어렵게,

미지수의 차수가 1인 방정식을 일차방정식이라 한다.

그렇다면 모든 일차방정식을 한번에 풀어주는 공식을 만들어 볼까?

이 모든 일차방정식이다.

우변에 숫자가 있으면 이항해서 합쳐주면 된다. 가 좌변, 우변에 있어도 이항해서 정리할 수 있다!

이 경우에 는 몇인가?

간단하다!

이것이 일차방정식의 근의 공식이다.

그렇다면~

이제 2차 방정식의 근의 공식을 만들어 보자.

일단 모든 이차방정식의 기준형태를 잡자.

모든 이차방정식은 위와 같이 정리할 수 있다.

여기에서 중요한 것은!

, , 는 모두 상수이다.

이제부터~~풀어보자.

한편 가 짝수일 때는 조금 더 약분이 가능하다.

가 짝수이므로 라 하면

사실 분모분자를 2로 약분한 것일 뿐이다.

몰라도 문제푸는데 아무런 지장이 없다.

단지 ‘아주 조금’ 더 빨리 푸는 공식일 뿐.

이차방정식 두 근의 거리

근의 공식을 활용하는 방법!

>>근의 공식 보러가기<<

이므로!

두 근중 작은 근을 , 큰 근을 라 하면

,

두 근의 거리는 이므로

두 근의 거리 =

암기하기 쉽게 바꾸면

이차방정식과 그래프 문제를 풀 때 종종 유용하다!

그런데...

는 양수인데!(음수이면 두 근이 존재하지 않으므로 거리도 없다)

가 음수이면??

거리가 음수라니?!!

그렇다고

라고 하면 되긴 하는데, 왜 절댓값이 등장해야 하지??

이유는 , 의 선정에서 있었다.

가 음수일 때는

, 가 된다.

결론!

두 근 사이의 거리는 항상

참고로, 적분에서 이차함수와 축 넓이 구하는 공식에서도 써먹을 수 있네!

>>이차함수의 넓이공식 보러가기<<

삼차함수의 넓이, 삼차함수와 접선의 넓이공식

우선 요거부터 보고 보는 것이 낫......을꺼 같.........습니다...

큰 연관관계는 없지만 그냥 셋트공식이라..;;;

>>>>>>>>>>2차함수의 넓이 공식<<<<<<<<<보러가기

삼차함수는 넓이가 어떻게 될까?

이차함수처럼 딱! 공식이 없을까?

그런데!

그 전에 먼저 삼차함수가 과연 넓이가 생길지부터 생각해라!

삼차함수가 3근이 있다면야~

넓이란 것이 존재하겠지만,

어느 넓이?

게다가, 삼차함수는 근 구하기도 힘든데?

게다가 근이 한 개 밖에 없는 경우에는 넓이가 발생하지도 않는다!

즉-

삼차함수에서 넓이 공식은 짝이 있어야 한다.

짝!이라니ㅠㅜ

삼차함수와 그 접선의 넓이 공식!

3차함수 넓이  

자매품 : 4차함수와 접선의 넓이 공식(게다가 두 번이나 접하는 직선!-거의 사용할 일 없다...)

4차함수 넓이