정감가는 연역적수학

지수를 0까지 확장해보았다.

이제는 어디를 침략할 차례인가?!

-음수!

뭐야...

 = 를 번 곱한 수

였으니까..

= 2를 –1번 곱한 수?

이게 말이야 소야?!

조금 침착하게 생각하자.

은 생각이 가능하지 않겠는가..

2를 4번 곱한 숫자에 –1번 곱하니까.....3번 곱한거 같은데?

..........빙고!

즉, 은 곱셈의 역연산으로 생각해야 한다.

() = (2)

자, 좀더 생각하면

은 어떻게 생각한다고?

로 세 번 나눠준다!, 즉, 과 같다.

0의 0승, 2의 0승.... a의 0승 – 지수법칙1

수학자는 게으른 동물이다.

어찌나 게으른지!

도 쓰기 귀찮아서!

곱셈기호를 만들었다.

근데, 만들고 보니 누군가 물었다.

는 쓰기 귀찮지 않냐고!

그래서 만들었다!두둥

이것이 지수!

(많은 변천사가 있었지만, 최종적인 표기법은 가우스!가 만드심)

자, 지수를 읽어보자.

  2를 4번 곱한다.

이름표를 붙여야 의사소통하기 좋겠지?

에서 2를 ‘밑’이라 하고 4를 ‘지수’라고 한다!

처음의 지수는 자연수에서만 정의됐었다. 왜냐하면 밑을 곱하는 ‘갯수’였기 때문이다!

수학자는 그냥 두지 않는다.

자연수에 한정하지 않고 정수, 유리수까지 확장해 버린다......

자, 을 풀어보자.

알아야 할 것은 단지 이것 뿐!

우선, 이 존재한다고 가정하고, 에 곱해보자.

은 명확하다.

(2를 한번 곱한 숫자에 2를 0번 곱하므로 총 2를 1번 곱한 숫자이다)

모르는 숫자는 이므로 로 바꿔서 보자.

아...

그래서

곱셈의 항등원 이라고도 불린다!

자, 그렇다면 을 살펴볼까?

을 로 바꿔서 보면,

는 몇????

모!든!수!

정해지지 않는다.

따라서 은 정의되지 않는 것이다!

수1 인수분해공식, 고등학교 인수분해

기초 인수분해 공식

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

(7)

(8)

(9)

(10)

복잡한 식의 인수분해

(1) 공통부분이 있는 다항식의 인수분해

   ① 공통부분을 치환

   ② 곱셈식의 경우, 식을 적당히 전개한 다음 치환

(2) 꼴 - 복이차식

   ① 로 치환

   ② 치환을 해도 인수분해 안되면 의 꼴로 변형하면 합차공식!

(3) 여러 개의 문자가 포함된 다항식

   차수가 가장 낮은 한 문자로 인수분해한다.

(4) 삼차 이상의 다항식 의 인수분해

인수정리 사용! 

복소수공식, 복소수의 기초

허수단위

제곱하여 이 되는 수를 로 나타내고, 이를 허수단위라 한다.

   즉,

복소수의 사칙연산

가 실수일 때,

(1)

(2)

(3)

(4) (단, )

    분자, 분모에 분모 의 결레복소수 를 각각 곱하여 정리한다.

켤레복소수

(1) 복소수 (는 실수)에 대하여 를 의 켤레복소수라 하고, 로 나타낸다.

즉,

(2) 켤레복소수의 성질

   두 복소수 에 대하여

음수의 제곱근

(1) 일 때, 이고, 음수 의 제곱근은 이다.

(2) 이면

   이면 또는 또는

(3) 이면

   이면 또는

수열의 극한 합답형, 정오판정의 연역적 수학

수열의 극한의 기본성질은 다음과 같다.

이해하면서 읽으면....뭐...당연한 말!!을 하고 있다.

그러나 기본성질에서의 핵심은

이것이다!!!!

수렴하지 않는 것들을 가감승제하면 틀린 명제일 확률이 매우 높다.

수열의 극한 참거짓 주의할 점

연습문제

ㄱ. 두 수열 이 모두 수렴하면, 수열 은 수렴한다.

ㄴ. 이고 이면, 이다.

ㄷ. , 이면 이다.

ㄹ. 수열 이 모두 발산하면 수열도 발산한다.

ㅁ. 이면 또는 이다.

ㅂ. , 이면 이다.

ㅅ. 이고 이면, 수열 은 수렴한다

ㄱ. 이 0으로 수렴할 수 있으므로 거짓

ㄴ. 이 수렴했고, 거기에 수렴하는 을 더한 것이므로 참

ㄷ. 수렴하는 두 수열이므로 곱해도 된다.

ㄹ. 발산하는 것은 계산하면 틀린다! -

반례는?진동에서 발생한다고 10초전에 보셨을텐데!?!!

,     둘 다 진동하지만 곱하면 1로 수렴해 있다!

ㅁ. 은 수렴하지만 과 은 수렴하는지 알 수 없다. 단순히 둘 중 하나가 0이 아닐 수 있다.

반례는?????진동!

번갈아 가면서 0이 되는 예를 생각해볼 것!

ㅂ. 이런 꼴이라고 생각해서 ‘참’이라 판정할 수 있으면 굿!

정직한 해설은 이라 하고, 을 대입해서 푼다

ㅅ. 과 이 같아진다.....그런데 무한대에서 같아질 수 있다.!고로 거짓

합의 기호

수학자는 게으르다.

쓰기 귀찮아서 만들었다...랄까....

만들고 보니 진짜 쓸모있어지는, 마치 지수같은 표기법이다.

이것도 이미 축약한 식이다.

그런데 더 축약하고 싶다.

더 격렬히 아무것도 안하고 싶다...

그래서 시그마 표기를 만들었다.

...쓰기 귀찮으니까 이렇게 약속하자!

이게 시그마의 시작이다.

아래쪽 숫자부터 ‘1’씩 커지는 숫자들을 모두 더한다!

이렇게 변형도 가능하지!

이거까지 이해했으면

시그마는 끝!

무서워 하지말고 그냥 써보면 된다.

ㅇㅋ?

좀 더 일반화 시켜볼까?

여기서 잠깐 퀴즈.

근본에 입각해서 생각해라!

일 때 는 몇인가?

엥?

가 어딨냐고???

저기있네....................................,

아...

, ....

따라서

수열에서 주로 쓰이므로 대신에 수열 {}라고 쓸 때가 많다.

자, 기초공식들이라는 것은 다음과 같다.

전혀~ 외울 공식이 아니다. 그냥 있는 그대로 받아들여! 이해해! 완전히 소화시켜!!

암기할 공식은 요런거

추가로 

4.

5.

같은 쓸모없지만 뭔가 있어보이는 공식도 있다.....

꼴의 점화식 꿀팁 - 빨리, 쉽게, 연역적으로 풀기

은 이해하고 있는가?

은?

이 두가지는 기초이다!    -------------------->점화식의 기초 보러가기

자, 이란 수열을 생각하자.

아차, 인 것은 주어져야 풀겠지~

라는 공식에 대입해서 풀 수도 있고,

아니면,

라고 변형해서 풀어나가는 것이 대부분의 풀이법일 것이다~

그런데! 왜!  마이너스 일까? 고민해 본 적이 있는가!

그냥 저러면 풀리니까?

그 이유를 밝힌다!

자, 일단 수열 몇 개를 구해보자.

,

이제 계차를 적어보자

계차가...어디서 본듯한데?

공비가 2이고 초항이 1인 수열과 계차는

1,2,4,8,16,32,...

 1,2,4,8,16,.....

저기에 4, 8, 16 나오네...

다시 표를 채워보자

                              ↑
이라 하자...

을 설정했다. 이것을 과 비교해봐라!

두둠칫

항상, 3씩 이 크다.

헐

이니까

이네?

끝.

저 이 바로 의 이유이다.

마이너스 부호가 중요한 것이 아니라

어떤 등비수열( : 게다가!!! 그 수열의 공비는 의 정의에 대놓고 나타나 있다.)을 평행이동한 수열일 뿐이다.

설명하느라 길었다.

몇 개만 연습해보자..........제발 종이에 직접 써서 해봐!

까지 할 필요도 없고, 단지 과 만 구해도 풀 수 있다고!!!!

다음 문제의 모든 이라 하자.

1)

이니까~

2)

이란 보조수열의 공비는 몇일까?

설명이 좀 빠졌지만, 쿨하게 넘기고,,,,,,,,,,,

에서 의 계수 3이 바로 의 공비!!!!!

따라서~

3)

자자, 해결을 하고 해답을 보고 계신건가?

이 고비에서 많은 학생들이 머리를 쥐어싸매더라!!!

너희들 탓 아니다. 지금까지 그렇게 공부한 너희탓이다......과거의 너희 탓이다.

보조수열의 정보는 한 가지 안다.....공비가 몇?

따라서 빈칸을 이렇게 채우면 되잖는가!

따라서

방정식은 뒀다가 어디에 쓰실려고!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

이런데 쓰는거다!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

총평.

연습 몇 번 해보면 감이 잡힌다.

그러면 다시 일반적인 풀이법 - 를 이해해봐라!

그러면 같은 것도 이해할 수 있을 토대가 된다.

점화식 기초 – 수열의 귀납적 정의의 기초해설과 어려운 점화식 고급공식

점화식은 일단, 두려움을 떨쳐내야 한다.

, ...요런 것들이 난무한다.

생긴것처럼 무서운 놈들이 전혀 아니다.

완전 착해빠진....그런 친구들이란 말이다!

이란, 랑 똑같을 뿐이다!.....     [수열의 합- 시그마(SUM)- 급수]편에서 좀 더 보고 와라!

더 좋은 점은, 에 대입할 숫자는

우리가 가장 좋아하는~~ 자연수 뿐이란거!!

이렇게 주어진 수열을 생각하자.

쫄꺼 없다!

만 이해하면 된다.

 = 어떤 항

 = 그 다음 항

이렇게 이해만 하면~~  끝.

‘어떤 항 바로 다음 항’과 ‘어떤 항과’의 차이가 항상 2이다...

즉, 에서 을 빼면 2임.

또는, 에서 2 커지면 이네?

쫄지 말고 그냥 받아들여봐라.

그게 힘들면, 구체적인 숫자를 대입해서 몇 개 적어봐라!!

다음은 구체적인 공식들이다~

④ 꼴은 제일 자주 나오는 형태이다. 적당한 난이도, 적당한 수준이 되어야 풀 수 있다!

-----------------  꿀팁은 여기서 해설!  -------------

삼각형의 넓이

1. 밑변높이

2.

3.  일명 신발끈 공식

4. 헤론의 공식

넓이

5. ..내접원의 반지름

모의고사에 매우 자주 나오는 삼각형의 넓이는 위의 방법으로 구한다!

그때그때 바로 보이는 것으로 풀고, 잘 안풀리면 다른 방법들을 생각해 봐야 할 것!

ps.

한변의 길이가 인 정삼각형의 넓이 =

세 변의 길이가 3, 4, 5인 직각삼각형의 내접원의 반지름 : 1

삼각함수 미분공식

삼각함수의 미분은 사실 딱 두가지만 외우면 된다.

나머지 것들은 모두 계산가능하다

즉, 분수함수의 미분을 통하여 계산가능하다.

그러나, 꼭 암기해둬야 하는 공식이다.

왜.냐.하.면.

적분을 위해서!!!!!!!

닥치고 암기!!!!!!

외우지 않으면

를 풀 때 고달프다~~~

널리 알려진 육각형을 이용한 암기법!

맞은편에 있는 것과는 역수관계이다

위 2개 제곱의 합은 아래쪽의 제곱과 같다

자신과, 양 옆에 있는 삼각함수의 곱은 같다.

c로 시작하면 마이너스

c로 끝나면(아랫줄은) 자신 곱하기 짝

t가 있으면 짝의 제곱