정감가는 연역적수학

수열은.....................................‘칸’이다.

징기스칸~~~~

이 아니다.

그냥 한칸, 두칸, 세칸! 이것이 수열이다!

자, 수직선에서 놀아보는 수열!

용어정리: 

  : 첫 번째 항!

  : 두 번째 항

.

.

.

 : 열 번째 항

.

.

.

  : 번째 항  :  마치 처럼 에 숫자를 대입하여 조작할 수 있다. 와의 차이점은

                    에는 자연수만 대입하여야 한다는 것이다! 왜일까?!

                    수열은 개수를 센다. 번째 숫자. 요런거 없다. 번째 숫자, 번째 숫자도 없다!

등차수열이란? 차이가 일정한 수열!

        그렇다면 그 일정한 차이를 무엇이라 불러줄까?   =  공차 =

공차가 바로 ‘칸’이다.

자, 수직선으로 가보자.

수직선에 다음과 같이 등차수열을 배열한다.....

차이가 똑같은 숫자들을 배열하니까 수직선에 예쁘게 배열할 수 있다!

-----------------

= 등차수열

이것이 전부이다!

에서 까지는 한 칸 이동한다.

수식으로 나타내자면

자, 한 번 더 해보자

부터 까지는 몇칸?

10칸???일리가!!

1부터 10은 9칸이다!

따라서

요기까지 이해했으면, 게임 끝!

자, 마지막 관문!

칸!!!

이 아니고, 칸이다!

이를 식으로 표현하면,

이것이 보통 배우는 등차수열의 일반항 공식이다.

그러나! 이 공식은 사용하면 안되는 공식이다.

왜냐~~~

자, , 인 등차수열이 있다. 은 몇인가?

공식에 대입하면 을 구하고, 도 구해서 다시 을 구한다.

4층과 8층을 알려주고 10층을 가랬더니 1층에 내려왔다가 10층까지 다시 올라가는 꼴이다.

어떻게 풀어야 잘했다고 소문나는가!

에서 은 몇칸인가?    -4칸!

4칸은 숫자로는 몇인가?    - 12!

따라서 한 칸은 3이다.

은 에서 두 칸만 가면 되니까~~~~

, 끝!

연역적으로 적용시켜 보자!

일 때 공차를 구하여라

첫항끼리만 비교하자.

과

총 두칸이 커졌다.

두 번째 항끼리도 두칸이 커졌다.

따라서 총 6칸이 커졌다.

그게 (30-18)라고 주어졌네?

공차는!!!!

다음은 빨리 풀 수 있는 문제들이다.

1. , 를 만족하는 등차수열 에 대하여 의 값은?

2. 두 등차수열 에서
     
일 때, 의 값을 구하여라.

3. , 일 때, 을 구하여라(단, 은 부터 까지의 합)

합의 기호

수학자는 게으르다.

쓰기 귀찮아서 만들었다...랄까....

만들고 보니 진짜 쓸모있어지는, 마치 지수같은 표기법이다.

이것도 이미 축약한 식이다.

그런데 더 축약하고 싶다.

더 격렬히 아무것도 안하고 싶다...

그래서 시그마 표기를 만들었다.

...쓰기 귀찮으니까 이렇게 약속하자!

이게 시그마의 시작이다.

아래쪽 숫자부터 ‘1’씩 커지는 숫자들을 모두 더한다!

이렇게 변형도 가능하지!

이거까지 이해했으면

시그마는 끝!

무서워 하지말고 그냥 써보면 된다.

ㅇㅋ?

좀 더 일반화 시켜볼까?

여기서 잠깐 퀴즈.

근본에 입각해서 생각해라!

일 때 는 몇인가?

엥?

가 어딨냐고???

저기있네....................................,

아...

, ....

따라서

수열에서 주로 쓰이므로 대신에 수열 {}라고 쓸 때가 많다.

자, 기초공식들이라는 것은 다음과 같다.

전혀~ 외울 공식이 아니다. 그냥 있는 그대로 받아들여! 이해해! 완전히 소화시켜!!

암기할 공식은 요런거

추가로 

4.

5.

같은 쓸모없지만 뭔가 있어보이는 공식도 있다.....

꼴의 점화식 꿀팁 - 빨리, 쉽게, 연역적으로 풀기

은 이해하고 있는가?

은?

이 두가지는 기초이다!    -------------------->점화식의 기초 보러가기

자, 이란 수열을 생각하자.

아차, 인 것은 주어져야 풀겠지~

라는 공식에 대입해서 풀 수도 있고,

아니면,

라고 변형해서 풀어나가는 것이 대부분의 풀이법일 것이다~

그런데! 왜!  마이너스 일까? 고민해 본 적이 있는가!

그냥 저러면 풀리니까?

그 이유를 밝힌다!

자, 일단 수열 몇 개를 구해보자.

,

이제 계차를 적어보자

계차가...어디서 본듯한데?

공비가 2이고 초항이 1인 수열과 계차는

1,2,4,8,16,32,...

 1,2,4,8,16,.....

저기에 4, 8, 16 나오네...

다시 표를 채워보자

                              ↑
이라 하자...

을 설정했다. 이것을 과 비교해봐라!

두둠칫

항상, 3씩 이 크다.

헐

이니까

이네?

끝.

저 이 바로 의 이유이다.

마이너스 부호가 중요한 것이 아니라

어떤 등비수열( : 게다가!!! 그 수열의 공비는 의 정의에 대놓고 나타나 있다.)을 평행이동한 수열일 뿐이다.

설명하느라 길었다.

몇 개만 연습해보자..........제발 종이에 직접 써서 해봐!

까지 할 필요도 없고, 단지 과 만 구해도 풀 수 있다고!!!!

다음 문제의 모든 이라 하자.

1)

이니까~

2)

이란 보조수열의 공비는 몇일까?

설명이 좀 빠졌지만, 쿨하게 넘기고,,,,,,,,,,,

에서 의 계수 3이 바로 의 공비!!!!!

따라서~

3)

자자, 해결을 하고 해답을 보고 계신건가?

이 고비에서 많은 학생들이 머리를 쥐어싸매더라!!!

너희들 탓 아니다. 지금까지 그렇게 공부한 너희탓이다......과거의 너희 탓이다.

보조수열의 정보는 한 가지 안다.....공비가 몇?

따라서 빈칸을 이렇게 채우면 되잖는가!

따라서

방정식은 뒀다가 어디에 쓰실려고!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

이런데 쓰는거다!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

총평.

연습 몇 번 해보면 감이 잡힌다.

그러면 다시 일반적인 풀이법 - 를 이해해봐라!

그러면 같은 것도 이해할 수 있을 토대가 된다.

점화식 기초 – 수열의 귀납적 정의의 기초해설과 어려운 점화식 고급공식

점화식은 일단, 두려움을 떨쳐내야 한다.

, ...요런 것들이 난무한다.

생긴것처럼 무서운 놈들이 전혀 아니다.

완전 착해빠진....그런 친구들이란 말이다!

이란, 랑 똑같을 뿐이다!.....     [수열의 합- 시그마(SUM)- 급수]편에서 좀 더 보고 와라!

더 좋은 점은, 에 대입할 숫자는

우리가 가장 좋아하는~~ 자연수 뿐이란거!!

이렇게 주어진 수열을 생각하자.

쫄꺼 없다!

만 이해하면 된다.

 = 어떤 항

 = 그 다음 항

이렇게 이해만 하면~~  끝.

‘어떤 항 바로 다음 항’과 ‘어떤 항과’의 차이가 항상 2이다...

즉, 에서 을 빼면 2임.

또는, 에서 2 커지면 이네?

쫄지 말고 그냥 받아들여봐라.

그게 힘들면, 구체적인 숫자를 대입해서 몇 개 적어봐라!!

다음은 구체적인 공식들이다~

④ 꼴은 제일 자주 나오는 형태이다. 적당한 난이도, 적당한 수준이 되어야 풀 수 있다!

-----------------  꿀팁은 여기서 해설!  -------------

무한급수 빠르게 풀기 팁

1. 공비가 일 때는 암기해라

첫째항

2. 같은 문제의 경우

 로 쓰지 말고~

세로로 써봐라.

   ⁝

훨씬 쉽게 지워나갈 수 있다.

3. 같은 경우에는 최대한 암산해봐라!

이 무리수가 아닌 다음에야~ 충분히 암산할 수 있다.

범분수는 그저 나눗셈일 뿐이다.

일 뿐이다.

분모의 분수만 뒤집어서 곱해주면 끝!

4. 따라서 공비가 일 때는?

등비수열의 합 빠르게 풀기 팁

이 팁은 공비가 2이거나, 일 때만 가능하다.

답은

why?

엥?어떻게 계산한 거지?

이 답이다!

공비가 2인 등비수열의 합은,

마지막 항의 다음항  -   첫 번째 항

이 답이 그렇다면 공비가 일 때는?

거꾸로 보면 된다!?

등비수열은 순서룰 뒤집으면, 공비도 뒤집힌다!

공비가 인 수열이 있다.

이 수열을 순서를 뒤집으면

공비가 !  똭!!

따라서 공비가 일 때는 순서를 뒤집어서 생각!