정감가는 연역적수학

무한급수와 정적분 설명

(1)
를 각 직사각형의 가로의 길이의 위치인 적분변수 로 보면 오른쪽 그림과 같이 구간 의 길이가 이므로 각 직사각형의 가로의 길이는 이고, 세로의 길이는 이다.
∴

(2)

를 각 직사각형의 가로의 길이의 위치인 적분변수 로 보면 오른쪽 그림과 같이 구간 의 길이가 이므로 각 직사각형의 가로의 길이는 이고, 세로의 길이는 이다.
∴

(3)
를 각 직사각형의 가로의 길이의 위치인 적분변수 로 보면 오른쪽 그림과 같이 구간 의 길이가 이므로 각 직사각형의 가로의 길이는 이고, 세로의 길이는 이다.
∴

(4)

를 각 직사각형의 가로의 길이의 위치인 적분변수 로 보면 오른쪽 그림과 같이 구간 의 길이가 이므로 각 직사각형의 가로의 길이는 이고, 세로의 길이는 이다.
∴

주어진 무한급수를 보고,

를 무엇으로 둘 것인지 생각해서 정적분으로 변환시키는 연습도 필요하지만,

그래프에서 구분구적법을 많이 시행해 보는 것이 우선이다.

그렇게 연습해야 최고난이도의 문제, 변형문제도 풀 수 있다.

1 연속확률변수의 평균, 분산, 표준편차

연속확률변수 가 취할 수 있는 값의 범위가 이고 확률밀도함수 일 때, 의 평균 , 분산 , 표준편차 는 다음과 같다.

(1) 평균 :

(2) 분산 :
또는

(3) 표준편차 :

2 연속확률변수 의 평균, 분산, 표준편차

연속확률변수 (는 임의의 상수)의 평균 , 분산 , 표준편차 는 다음과 같다.

(1)

(2)

(3)

절대부등식 중급 : 산술기하평균, 코시-슈바르츠 부등식 등등 – 안성환쌤의 연역적수학

①

일명 산술 – 기하 –조화 평균.

각 항이 양수여야 한다!!

② 

③ | a + b | ≦ | a | + | b | (등호는 ab≧0일 때 성립)

④ a² + b² + c²≧ab + bc + ca (등호는 a = b = c일 때 성립)

⑤　(a² + b²)(c² + d²)≧(ac + bd)² (등호는 ad = bc일 때 성립)

코시-슈바르츠의 정리

⑥

흔히 나오는 문제이나 고2가 되면 까먹는 문제.

에 대한 완전제곱식으로 변형하면 쉽게 풀린다!!

이 되므로

두 실수의 제곱의 합은 0보다 크다

⑦

  ⑥번과 마찬가지로 풀린다~

행렬 거듭제곱

일단 곱셈은 익숙해진 상태일 것이다.

아니라면?

>>>>행렬곱셈 보러가기<<<<

를 제곱하시오.

라는, 거듭제곱을 구해야 되는 문제는 자주 등장한다.

그때마다!

이렇게 두 번 쓰고

보조선도 긋고...

열심히 계산!!!!

시간 걸리고, 귀찮다....

수학은, 게을러야 한다.

게으름을 위해 암기하면 좋은 공식이 가끔 있다.

그 중 대표적인 것!

행렬의 거듭제곱 암산공식!

미리 계산해서 외워두는 것이다.

의 제곱은,

(1, 1) 성분과 (2, 2)성분이 셋트다.

자기 자신의 제곱 + (카드...)

(1, 2) 성분과 (2, 1)성분이 셋트!

에다가 자기 자신 곱하기!

몇 번 연습하면 금방 익숙해진다.

하루에 3개씩 3일이면 끝!

제곱은

문제 셀프로 출제해서 몇 번 연습해보시오!

정답은 어떻게 맞추냐고?

진짜 곱셈으로 계산해서!~~~~

그래야 시간차이를 절실히 느낀다.

머리를 써야 손이 게으를 수 있다는 것을 깨달아라!!!!

행렬 곱셈

행렬곱셈의 정의

두 행렬 에 대하여 행렬 의 열의 개수와 행렬 의 행의 개수가 같을 때, 의 제 행의 성분과 의 제 열의 성분을 차례로 곱하여 더한 값을 ()성분으로 하는 행렬을 행렬 와 의 곱이라 하고, 기호로 로 나타낸다.
                

행렬만 기억하면 된다.

근데 행이 가로였나?세로였나??

열이 가로였나?세로였나??

요것만 기억하면 되겠다.

행:가로 행

렬:세로 열

첫 번째 행렬의 ‘행’과, 두 번째 행렬의 ‘열’을 각각 곱해서 더해준 것이

원소가 된다.

첫 번재 행렬의 2번째 행, 두 번째 행렬의 3번째 열을 연산하면

(2, 3)원소가 나온다.

각각 곱해서 더해주는 연산법에 의해

첫 번째 행렬의 ‘행’에 있는 숫자의 개수와 두 번째 행렬의 ‘열’에 있는 숫자의 개수가 같아야 연산이 가능하다.

두 행렬 에 대하여 의 곱 를 구해보면

아아아...이제 행렬도 올해로 마지막 강의겠구나....뭔가 아쉽다.....

>>>>행렬의 곱셈, 거듭제곱은 암기해라<<<<

다항함수 미분공식

매우 쉬운 계산이다. 금세 익숙해질 수 있다.

• 를 미분하면     

•  를 미분하면     

• 를 미분하면 

• 를 미분하면        

• 를 미분하면

• 를 미분하면

미분, 즉 도함수는 무엇인가!

기울기만 뽑아낸 함수!임을 잊지 말자!!!!

나머지정리

에 대한 다항식 를 일차식 로 나누었을 때의 몫을 , 나머지를 라 하면
         (단, 는 상수)

이 등식은 에 대한 항등식이므로 양변에  를 대입하면
        

이 식이 두려운가?

나머지 정리에서 가장 중요한 식이자, 너무나도 쉬운 식이다.

이 식이 어렵게 느껴지는 이유는

기본개념이 부족해서다!

어떤 기본개념이냐고?

>>>>>란 무엇인가? 보러가기<<<<<<<<

인수정리
나머지 정리에 의하여 다항식 를 일차식 로 나누었을 때의 나머지인 가 0 이면 는 로 나누어 떨어진다. 또한 이것의 역도 성립하므로 다음과 같은 인수정리가 성립한다.

라는 함수가 주어졌다.

에 을 대입해보자.

이다.

..왜 1을 대입하니까 0이 되었을까?

가 인수분해된다면, 이 있어야만 하는 것이다.

인 꼴어여야만

이 될 것이 아닌가!

란 무엇인가?

대부분의 학생들의 대답 : ...함수요!

특이한 학생들의 대답 : 설리가 진리요..

는 함수가 아니다.

그냥, 가 들어간 식!

(여기에서 는 무엇인가?---------변수이다.

내가 마음대로 숫자를 대입할 수 있다.

이라면,

, ....요런거다.)

그게 끝이다.

요렇게..

, , , , ....

그냥 가 들어간 식이다!

(뭐...이렇게, 가 들어가지 않을 수도 있긴 하다..)

이라고 쓰면 방정식이 된다.

라고 쓰면 함수......가 아니다. 그냥 와 의 관계식이다.

함수 라고 써야 함수이다.....

와 의 관계식은 함수라고 봐도 고등학교 수학에서야 무방하겠지...

꼭 를 써야할 필요도 없다.

, , , ...

그냥 식에 이름을 붙여준 것 뿐이다.

원순열! -우리도 원탁에서 회의해 볼까?ㅋㅋㅋ

원탁에 앉는 방법의 가짓수이다!

여기에서 깨달아야 할 것은~!

현실과 다른 점을 알아야 한다.

어떤 모임에서 중국집에 가서 원탁에 앉는다.

어디에 앉을 것인가?

문에서 먼 곳?가까운 곳?

냉난방기의 위치에 따라서?

창문에 가까운 곳?

일찍 나가야 하므로 이동이 편리한 곳?

밖에서 잘 안보이는 곳?의자가 편해보이는 곳?

현실은 그런 것을 고려해야 한다.(-실제로는 잘 고려하지 않겠지??)

원탁의 기본 규칙은-

모든 자리가 동등하다는 것이다.

의자도 똑같다. 음식세팅도 똑같다. 모든 것이 동일하다.

그렇다면 무엇만이 중요해지는가?!

사람이 중요하다!

모임에서 가장 맘에 드는 이성 옆자리냐 아니냐가 중요한 것이다!!!!!

2명이 원탁에 앉는다고 생각하자.

몇가지 방법이 있겠는가?

그냥, 앉는다!

1가지이다.

어떻게 앉아서 서로 마주볼 수 밖에 없잖냐!

원순열에서는 사람들의 위치관계만 고려하는 것이다.

어떻게 세어야 잘 세었다고 소문날까?

원순열의 기본!- 두 가지 방법으로 세는 것을 연습하라.

어떤 문제든 두 방법이면 풀릴 것이니~

방법1 – 기준잡기

방법2 – 회전수로 약분하기

자, 연습해보자.

다음과 같이 정사각형의 탁자에 8명이 앉는 방법의 가짓수는?

방법 1과 방법 2로 풀어봐야 한다!

어느 방법이 더 좋은게 아니다.

문제마다 어떤 방법이 더 편할 수 있는 것이다!

방법1

당신이 맨 처음에 앉을 것이다. 그런데 정사각형이므로 모든 자리가 똑같지 않다!

앉을 수 있는 곳은 2자리가 있다. 테이블의 왼쪽이냐, 오른쪽이냐!

     왼쪽 오른쪽

따라서 2 곱하기~

나머지 사람 7명이 앉는 방법 =

따라서

방법2

8명을 모두 배열한다. =

회전할 수 있으므로 약분한다! =

따라서

물론 답은 같다. 같아야 한다. 여러 문제에서 두가지 방법을 모두 시도하여 일치시켜 보십쇼!!~

인수분해 – 조립제법 하지마라

조립제법은 없어져야 한다.

수학적인 의미도 없다.

단지 생각을 덜하고, 손으로 계산할 뿐이다.

계산이 빨라지지도 않고, 머리마저 쓰지 않으니

가장 필요 없는  계산법이다!

다행히도, 많은 학생들은 알아서 조립제법을 사용하지 않는다.

많은 선생님들도 쓰지 말라고 한다.

그런데! 설명에 설명을 들어도 너무 힘든 학생들을 위해! 준비했다!

조립제법 안쓰고 인수분해 하기 특강!

문제) 다음을 인수분해 하시오.

우선, 에 수를 대입해서 식을 으로 만드는 값을 찾아야 한다.(왜??---->나머지 정리 보러가기)

이 되는군! 좋았어!

가 될꺼야!

여기까지는 이해가 쉽다. 그런데 그 다음이 문제이다.

빈칸에 들어갈 식을 찾는 것이 어려울 수 있다!

                최고차항의 계수를 생각하면 에 곱해질 수는 이다.

                그런데, 과 도 곱해져서 을 탄생시킨다.

                우리의 목표는 의 계수를 을 만드는 것이므로!!!무엇이 필요한가?

                마찬가지로 가 나왔는데, 를 만들어야 하므로 상수항은 몇이 필요한가?

요렇게 설명들을 한다.

그래도 이해가 잘 안가거나, 오히려 실수를 하게 되고, 또는 더 오래 걸리는 학생들이 있다.

왜!!!그럴까?!나는 바보인가?!!!

세상에 바보는 없다.

중간단계를 뛰어 넘어서 그렇다.

를 전개해보라.

해보라고!

종이에다가!!!!

접기

수학을 잘하려면 – 무엇보다도!!!!

게을러야 한다.

엥?

진짜?!!

손이 게을러야 한다.

머리는 부지런해야 한다.

주어진 식을 전부 다 전개하면 답인가?

우리는 에 대한 내림차순으로 정리해줘야 한다.

처음에 전개할 때 머릿속에서 작업해서 한 번에 결과물을 써내는 연습이 되어있어야만 한다.

의 계수는

의 계수는 이므로       (괄호 안의 계산은 머릿속에서 충분히 할 수 있지?)

의 계수는 이므로 ______

상수항은

인수분해 나올 때마다 곱셈공식도 연습해라.

어느 순간 자연스럽게 될 것이다.

수학은 게을러야 하지만, 기초계산에 대한 연습은 해둬야 한다.

그래서 시험장에서 진짜로 게으를 수 있다!(??)