정감가는 연역적수학

우선, 기초공식을 튼튼히 해라!------->로그 기초공식 보러가기

지표와 가수에 대한 이 포스트는 중~상급자 용입니다.....

즉, 자세한 설명은 생략한, 연역적인 설명입니다.

상용로그의 지표와 지수   보다 큰 에 대하여 과 같이 을 밑으로 하는 로그를 상용로그라 한다. 밑 을 생략하여 으로 나타낸다.  임의의 양수 에 대하여 은 정수, 일 때, 을 의 지표, 를 의 가수라 한다.   보다 크지 않은 최대의 정수를 라 할 때,     의 지표 :       의 가수 ----------------->가우스 함수 보러가기(아직 작업중)

이것이 일반적인 지표와 가수이다.

우리는, 새로운 유형의 문제를 접할 때마다 힘들었기 때문에 근본적인 두려움이 있다.

어떻게 정복할 것인가?!-------기초를 확실히, 개념을 너의 것으로!!

로 쪼개는 것이 지표와 가수이다.

은 정수,

는 소수부분.

그렇다면 다시 원상복귀시켜보자.

우리는 로그보단 지수가 편하다.

항상 지수모드로 돌아와서 생각해라!

무슨 소리인가 하면~

상용로그의 지표와 가수의 성질  지표의 성질    ① 정수 부분이 자리인 수의 상용로그의 지표는 이다.    ② 소수점 아래 째 자리에서 처음으로 이 아닌 숫자가 나타나는 수의 상용로그의 지표는 (또는 )이다.  가수의 성질    진수의 숫자의 배열이 같고 소수점의 위치만 다른 수들의 상용로그의 가수는 모두 같다.  지표와 가수의 성질의 활용 일 때,  지표의 성질      의 지표가 이다.       (단, 은 정수, )                 (단, 은 정수)       가수의 성질 와 의 가수가 같다.      (정수)            (단, 은 정수)      와 의 숫자의 배열이 같다.

1) 자릿수와

(지표)의 관계

아주아주~~~밀접한 관계이다.

왜냐고?! 그것을 완전히 이해하면, 뭐...지표가수 끝낸거여!

자, 두자리 숫자란 어떤 숫자인가?

숫자 두 개있는거?

좀 더 구체적으로 범위를 생각해보면???

그렇지!

이런 숫자들을 전부 두자리 숫자라 한다!

상용로그는 실수 전체에서 증가하므로~ 부등식에 상용로그를 취해도 부등호의 방향은 변함없다

의 값은

즉 지표가

이다!

그래서 지표에

을 더하면 자릿수를 얻는 것이다.

반면, 지표가 음수일 때는 직접 수행해볼 것!

2) 가수란 어떤 놈인가?

만 놓고 보면 참 어색하다. 이해하기 힘들다....

그럼 어디서 생각하라고?!

지!수!모!드!

여기서 를 봐야 한다.~~

즉,

가 중요한 것이다.

위의 박스설명 안에 다음 식!

 (단,

은 정수)

에서 저 숫자배열부분이 바로

인 것이다!

이과생들이 좀 더 잘 알겠지만, 자연계에 등장하는 많은 상수들 중에서

아주 크거나 작은 놈들은 항상 저렇게 표현해 왔다.

정확한 수치보단 적당한 근삿값만 있어도 우리는 충분히 유효한 계산들을 할 수 있기 때문이다!오호~

아보가드로의 수 :

중력 상수       :

지표와 가수는 숫자들을 저런 표현법으로 바꿔서 계산할 수 있게 해준 것이다.

특히 이라던지, 같은, 지수로 표현된 큰 숫자들의 근삿값 계산을 계산해주는 계산기였다!

(현재는 그냥 시험용이다만......)

3) 지표는 정수이고, 가수는 항상

이 사실에 입각해서 위의 박스설명을 다시 잘 해석해봐라!

총정리!

다음 표를 채울 수 있어야 한다.

꼭 직접 해봐야만 한다.

힌트) 를 실제 숫자를 대입해서 생각해봐야 한다. 언제 변화가 생기는지 확인하고 그것을 표현할 수 있다면!!!

지표와 가수는 정!복!

일 때 상용로그의 조작

은 정수,

		지표	가수	조건

이제 유리수!

지수에 유리수를 넣어보자고!

..조금 무섭게 생겼다.

자자, 숫자는 너희를 해칠 수 없어!. 쫄지마!

우리가 모르는 숫자니까, 우리가 아는 숫자로 바꿔주자

필요한건 뭐?

니까 를 더하면 1이 되잖느냐!

우리가 아는 자연수로 만들어주자!

오호, 어떻게 하지?

         (어? 는 아닌가?)

이것은 의 몇승을 하더라도 양수가 나오는 이유 때문에 그렇다.

좀 어려운 이야기...

그냥, 음수 생각 안해도 되니 편하게 생각해!

말로 이해해 보자.

란 것은 2를 절반만 곱한 숫자!

그럼 절반 더 곱해주면 2가 되겠군!

따라서

(사실, 보다 가 훨씬 좋은 표기법이다. 계산도 편하고 더 자연스럽다....?)

ps.지수법칙에 요주의사항!

계산연습을 많이 하여도 한동안 헷갈리는게 과 이다.

자꾸 글로 읽으면서 적응해라!

2의 –1승이라고 읽고, 머릿속에서는 2를 –1번 곱한다?  2로 나눈다!

2의 라고 읽고, 생각할 때는 2를 번 곱한다? 

지수를 0까지 확장해보았다.

이제는 어디를 침략할 차례인가?!

-음수!

뭐야...

 = 를 번 곱한 수

였으니까..

= 2를 –1번 곱한 수?

이게 말이야 소야?!

조금 침착하게 생각하자.

은 생각이 가능하지 않겠는가..

2를 4번 곱한 숫자에 –1번 곱하니까.....3번 곱한거 같은데?

..........빙고!

즉, 은 곱셈의 역연산으로 생각해야 한다.

() = (2)

자, 좀더 생각하면

은 어떻게 생각한다고?

로 세 번 나눠준다!, 즉, 과 같다.

0의 0승, 2의 0승.... a의 0승 – 지수법칙1

수학자는 게으른 동물이다.

어찌나 게으른지!

도 쓰기 귀찮아서!

곱셈기호를 만들었다.

근데, 만들고 보니 누군가 물었다.

는 쓰기 귀찮지 않냐고!

그래서 만들었다!두둥

이것이 지수!

(많은 변천사가 있었지만, 최종적인 표기법은 가우스!가 만드심)

자, 지수를 읽어보자.

  2를 4번 곱한다.

이름표를 붙여야 의사소통하기 좋겠지?

에서 2를 ‘밑’이라 하고 4를 ‘지수’라고 한다!

처음의 지수는 자연수에서만 정의됐었다. 왜냐하면 밑을 곱하는 ‘갯수’였기 때문이다!

수학자는 그냥 두지 않는다.

자연수에 한정하지 않고 정수, 유리수까지 확장해 버린다......

자, 을 풀어보자.

알아야 할 것은 단지 이것 뿐!

우선, 이 존재한다고 가정하고, 에 곱해보자.

은 명확하다.

(2를 한번 곱한 숫자에 2를 0번 곱하므로 총 2를 1번 곱한 숫자이다)

모르는 숫자는 이므로 로 바꿔서 보자.

아...

그래서

곱셈의 항등원 이라고도 불린다!

자, 그렇다면 을 살펴볼까?

을 로 바꿔서 보면,

는 몇????

모!든!수!

정해지지 않는다.

따라서 은 정의되지 않는 것이다!

로그공식 까먹었을 때 만들기!로그공식 암기법!

자, 지수로 놀아보자.

.

.

.

.......스파이가 숨어있네?

의 몇승을 하면 이 나올까?

그런 숫자가 있을 리가?.....

아니지...수학은 있을지도 몰라....수학자들이 늘 그렇지 뭐........또 뭔가 만들어냈겠지....휴우....

생각해보니 가능하지 않을까?

아마도 과 사이의 어떤 값이겠지?

그런데, 무리..........수이다.

무리수라고!

사실, 무리수는 표현방법을 새로 만들어야만 표기가 가능하다.  

--------수체계의 새로운 설명 1 보러가기--------------(물론, 공사중...)

그래서 정의했다. 로!그!

요것을 

이라고 쓴다.

로그 끝!

첨자로 써진 작은 숫자를 ‘밑’.......지수에서도 밑이라 했는데!!!

일관성이 있어서 외우기 좋.....지?

을 진수: 지수의 친구라고 하자......웬지...여자친구같은데?.....지수와 로그도 커플일세ㅠㅠ

그럼 은?

그냥 계산 결과값이지. 이름없다.

(허나!, 지수표현으로 바꾸면 ‘지수’가 된다고~)

이것이 로그의 정의이다.

모든 문제풀이는 여기서 출발해라.

자, 로그공식의 첫 번째는 이것이다.

가장 쉽게 외우려면~

와 비교하자.

지수와 로그은 커플인데, 서로 정 반대의 커플이다.

(정확히는 역연산!!!!)

따라서 ~

지수는 ‘곱한 것’이 ‘더하기’로 합쳐졌으니까~

로그는 ‘더한 것’이 ‘곱하기’로 합쳐진다!

로그 공식의 첫 번째는 이것이다.

로그끼리합은 곱의 로그

로그합은 곱이라고 외웠다가는....

라는 말도 안되는 공식과 헷갈리니까.....조심

자, 그렇다면

덧셈이 곱셈이 되니까~

뺄셈은!!!!!!!

나.눗.셈이겠지!

쫄지말고, 같은 기호니까 두배해주면 되겠지?!

근데 공식에도 적용해보면,

따라서!

쪼끔 더 생각해보면!

기초 로그 공식은 해결된다!

<<<<<<로그 공식 전체 보러가기>>>>>>>>>>>>

한편,

란 식은

이렇게 바꿔서 읽어주자.

는 어떻게 읽지?

의 몇 승을 하면 가 나오지?그 값!

---> 의 몇승해야 16이 나오지?................4!

따라서

이런 말바꿈에 익숙해져라!

그게 로그의 정의니까....

연습!

지수로 바꿔보면 된다!

에 몇 승해야 인가?!????

<<<<<<<<<<<<<왜 어떤수의 승은 인가?>>>>>>>>>>>>>>>>>>>보러가기

지수함수-지수방정식의 기본전략 – 안성환쌤의 연역적 수학

지수함수의 그래프를 생각해보자.

가 1보다 크던 작던지 간에 항상 는 단 한 개의 해를 갖는다.

물론, 는 1이 아닌 양수이고, 는 양수이여야 해를 가진다.    

BUT!!!!!!

지수함수와 지수 방정식은 다르다. 기본전략 (1), (4)에서 Check it out!

지수 방정식의 기본형  , 즉 지수에 미지수 가 올라간 식!

(1) 또는

지수 함수와 다른 점이다. 밑이 이여도 지수방정식은 가능하다!

(2) 또는

모든 지수함수의 그래프는(단 평행이동 안한 형태~~ ) 을 지난다!

(3)

제일 빈번히 쓰는 전략. 올라간 꼴이 보기 싫으니 내려준다. 어떻게?

지수함수의 역함수 로그함수 소환!

(4) 또는

조심해야 할!!!

밑에 가 있으면 생각 많이 해야 함!

(5) , , 가 있을 때 로 치환 (단, )

치환한 가 항상 양수이므로!!!

해를 구한 후에 꼭 처음 식에서 체크해봐야 한다!

일명 무연근인지 확인해야 한다.

1. 지수함수의 정의

  이고 일 때, 함수 을 를 밑으로 하는 의 지수함수라 한다.

2. 지수함수 의 성질

(1) 정의구역은 실수 전체의 집합

(2) 치역은 양의 실수 전체의 집합

(3) 일 때, 의 값이 증가하면 의 값도 증가한다.

   즉, 이면 이다.

   이면 의 값이 증가하면, 의 값은 감소한다.

   즉, 이면 이다.

(4) 그래프는 점 , 를 지난다.

(5) 점근선은 축()

(6) 의 그래프와 의 그래프는
    축에 대하여 대칭이다.

 지수함수 (, )의 그래프를

① 축에 대하여 대칭이동 ⇨

② 축에 대하여 대칭이동 ⇨

③ 원점에 대하여 대칭이동 ⇨

(7) 지수함수 (, )의 그래프를
축의 방향으로 만큼, 축의방향으로 만큼
평행이동하면 이다.

1. 로그함수의 정의

지수함수는 로그의 정의에 의하여로 나타낼 수 있고

여기서와 를 바꾸면의 역함수를 얻는다.

이 함수를 를 밑으로 하는 로그함수라 한다.

2. 로그함수 의 성질

(1) 정의구역은 양의 실수 전체의 집합

(2) 치역은 실수 전체의 집합

(3) 일 때, 의 값이 증가하면 값도 증가한다.

    즉, 이면 이다.

    일 때, 의 값이 증가하면 값은 감소한다.

    즉, 이면 이다.

(4) 그래프는 점, 을 지나고, 점근선은 축이다.

(5) 과 직선 에 대해 대칭(역함수)

(6) 로그함수 의 그래프를

 축의 방향으로 만큼, 축의 방향으로 만큼 평행이동하면

이다. 

(7)  로그함수 의 그래프를

    ① 축에 대하여 대칭이동 ⇨

    ② 축에 대하여 대칭이동 ⇨

    ③ 원점에 대하여 대칭이동 ⇨