수열의 극한 부정형:무한대-무한대 꿀팁 1 - 안성환쌤의 연역적수학

수열의 극한 – 부정형 : 무한대-무한대  꿀팁1

도입부 

 라는 문제는 모의고사 초반에 자주 나오는 문제이다. 좀 더 어렵게도 변형되어 나오는데 많은 학생들이 이 꿀팁을 어느정도는 알고 있다. 거기에 만족하지 말고 더 확장해서 루트가 나오는 거의 모든 문제에 응용해 보자!

 를 그래프로 그리면 다음과 같다.

검은 함수는 이고, 빨간 색이 이다.

이를 좀 더 축소해서 보면

이렇다!

즉, 이 무한대가 되면 는 에 수렴한다!

왜 그런가?

이 어디로 가는지 보면 된다.

빨간 색은 , 검은색은

라는 함수를 보자.

큰 숫자를 제곱한 후 1을 더하고 다시 제곱근을 취하면~~~~  1은 별 역할을 못한다.

가 조금만 커져도 와 별 차이가 없다.

가 무한대로 가면 당연히! 에 수렴하는 값이 된다.

그러나, 는 다르다

큰 수를 제곱하고 거기에 큰 수의 2배를 더한다.

예를 들어 1억을 제곱하고 거기에 2억을 더한다. 이 숫자의 제곱근 값은 1억에 가까울까?

여기에서 아이디어가 필요하다.

무한대로 증가하는 숫자 옆에서 1이라는 숫자는 위력이 없었다.

즉, 상수항은 있으나 마나 한 존재이다.

라는 식에 적절한 상수항을 더해주면 어떤 일이 발생할까?!

 이런 식으로 말이다.

헛!

우리가 사랑하는 완전제곱식!

 아닌가!

 

이것이 실체이다....물론, 극한의 세계에서만 통용된다.

총정리!

 로 바꿀 수 있다!

ps. 사실, 여기에는 몇 가지 제한조건이 붙어야 한다. 무한대 – 무한대 꼴이여야 하며, 결과가 수렴하는 식에서만 사용할 수 있다. 뒷 식에서 무한대 인자를 상쇄시켜줄 때에 안전하게 사용 가능하다.