곡선의 길이공식-

평면에서 곡선의 길이

(1) 곡선 , 의 길이

(2) 곡선 의 길이

(2)번 공식은 사실, (1)번 공식과 같다.

(1)번 공식에 , 를 적용해보면

         ↓      ↓

  곡선의 길이의 증명

(1) 곡선 , 의 길이

곡선 , 의 길이 은 오른쪽 [그림 1]과 같이 시각 에 대하여 좌표가 이고, 좌표가 인 점 가 좌표평면 위에서 시각 부터 까지 움직인 거리와 같다.

이때 오른쪽 [그림 2]와 같이 매개변수가 부터 까지 변할 때, 점 는 점 로 움직인다고 하면, 의 증분 가 충분히 작을 때 의 증분 은 선분 의 길이와 거의 같다.

따라서 곡선 , 의 길이 은

  ㉠

(2) 곡선 의 길이

함수 는 매개변수 를 이용하여 다음과 같이 나타낼 수 있다. ,

㉠에 의하여 곡선 , 의 길이 은