공학적 세상보기

일차변환의 재정의, 본질 – 안성환쌤의 연역적수학

이라는 일차변환을 생각해보자.

이라는 점은 라는 일차변환에 의해 어디로 가는가?

이를 제대로 알기 전에 우선, 좌표평면을 제대로 이해해야 한다.

>>>>>함수와 그래프-01. 2차원, 순서쌍을 전부 표현하다.<<<<<보러가기

이라는 점은 원점에서 축으로 2칸, 축으로 1칸 움직인 점이다.

일차변환은 여기에서 축을 비틀어 버린다.

엥?

사실 좌표평면은 꼭 직각좌표계일 필요가 없다.

‘평면상의 모든 점’과 ‘두 실수값의 순서쌍’과 일대일 대응이면 된다.

축이 직각일 필요도, 간격이 일정할 필요도 없다....

암튼, 이라는 점은 기본 좌표계에서 2칸, 1칸이였다.

그런데 일차변환은 축을 비틀어 버린다.

축을 비튼다는 것이 무슨 뜻인가?

결과부터 말하자면,

원래 축으로 1칸은 인 벡터이다.(이를 축의 단위벡터라 한다.)

그런데 일차변환에 의해

축으로 한칸이 으로 변한다.

그렇다면 축의 단위벡터는 어떻게 변하지??

로 변한다.!!!

자, 원래 은 원점에서 축 2칸, 축 한 칸 움직인 점이다.

그런데 일차변환 에 의해서

원점에서 출발해 ‘새로운 축의 단위벡터’로 2칸,

‘새로운 축의 단위벡터’로 칸을 움직인다.

...

그냥, 를 계산하는게 빠르겠네!

가 아니다.

이것이 일차변환의 본질(?)이다.

고난이도의 문제가 이 본질 앞에 무릎 꿇으리니!!!!

<<<<예제 보러가기>>> 공사중

좀 더 증명같은 설명은 다음과 같다.

                                        -공식에서 일차변환의 계산을 참조

경우의 수 기초공식 – !, 순열, 조합, 중복조합

개를 전부 순서대로 배열하는 방법

개중 개를

순열 : 순서대로 배열

조합의 수 : 순서없이 뽑기만

 (단, )

>>>>>>>>>순열 조합 설명 더보기<<<<<<<<  공사중

중복순열 : 중복가능하게 뽑아서 배열

중복조합의 수 : 중복가능하게 뽑기만!

>>>>>>>>중복조합 설명 더보기<<<<<<<<<< 공사중

1. 지수함수의 정의

  이고 일 때, 함수 을 를 밑으로 하는 의 지수함수라 한다.

2. 지수함수 의 성질

(1) 정의구역은 실수 전체의 집합

(2) 치역은 양의 실수 전체의 집합

(3) 일 때, 의 값이 증가하면 의 값도 증가한다.

   즉, 이면 이다.

   이면 의 값이 증가하면, 의 값은 감소한다.

   즉, 이면 이다.

(4) 그래프는 점 , 를 지난다.

(5) 점근선은 축()

(6) 의 그래프와 의 그래프는
    축에 대하여 대칭이다.

 지수함수 (, )의 그래프를

① 축에 대하여 대칭이동 ⇨

② 축에 대하여 대칭이동 ⇨

③ 원점에 대하여 대칭이동 ⇨

(7) 지수함수 (, )의 그래프를
축의 방향으로 만큼, 축의방향으로 만큼
평행이동하면 이다.

1. 로그함수의 정의

지수함수는 로그의 정의에 의하여로 나타낼 수 있고

여기서와 를 바꾸면의 역함수를 얻는다.

이 함수를 를 밑으로 하는 로그함수라 한다.

2. 로그함수 의 성질

(1) 정의구역은 양의 실수 전체의 집합

(2) 치역은 실수 전체의 집합

(3) 일 때, 의 값이 증가하면 값도 증가한다.

    즉, 이면 이다.

    일 때, 의 값이 증가하면 값은 감소한다.

    즉, 이면 이다.

(4) 그래프는 점, 을 지나고, 점근선은 축이다.

(5) 과 직선 에 대해 대칭(역함수)

(6) 로그함수 의 그래프를

 축의 방향으로 만큼, 축의 방향으로 만큼 평행이동하면

이다. 

(7)  로그함수 의 그래프를

    ① 축에 대하여 대칭이동 ⇨

    ② 축에 대하여 대칭이동 ⇨

    ③ 원점에 대하여 대칭이동 ⇨

분수 미분, 분수함수 미분 증명

 ➡

곱함수의 미분법과 흡사하다!

분모만 제곱, + 가 –로 변신~

링크

곱함수의 미분법 증명

합성함수의 미분법 증명